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Das ist eigentlich garnicht so schwer.
Was sind denn die Kriterien für einen Untervektorraum?
Sei \( U \subseteq V \), wobei \( V\) ein Vektoraum über einem Körper \( K \) ist. Damit \( U\) ein Untervektorraum ist müssen folgende Kriterien gelten:
- \( 0 \in U \) (oder auch \( U \not = \emptyset \) )
- \( u + w \in U \) für alle \(u, w \in U \)
- \( \alpha \cdot u \in U \) für \( u \in U, \alpha \in K \), wobei \( K\) der Körper des Vektorraums ist.
Wenn du nun zeigen möchtest, dass \( U\) kein Untervektorraum ist, dann musst du zeigen, dass eine der Kriterien für deinen Vektorraum nicht gilt.
Lösungsansatz:
Wenn du dir die Gerade anschaust wirst du merken, dass diese nicht durch den Ursprung geht. Somit ist der Nullvektor nicht enthalten. Dies kannst du dann mit Kriterium 1 oder 3 zeigen.
Arbeite mit den Definitionen, die ihr in der Vorlesung gemacht habt!
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bohne
Student, Punkte: 35
Student, Punkte: 35
Danke, also soll ich (x,y)=0 setzen, um zu sehen ob die Gerade durch den Ursprung geht...?
─
thalgaugang1
15.03.2020 um 11:32
Ja. Bei der Aufgabe wird das funktionieren, da diese nicht durch den Ursprung geht. Dieser Lösungsweg wird aber nicht immer funktionieren. Am besten lernst du die Kriterien auswendig und geht bei der Aufgabe Kriterium für Kriterium durch und schaust welches nicht erfüllt ist.
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bohne
15.03.2020 um 11:35
Und wie würde ich die anderen Kritieren testen? Nimmt man für u und w einfach irgendwelche Punkte aus der Geraden und schaut ob diese dann immer noch in U enthalten sind? U ist nehme ich mal an meine Gerade und K R2?
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thalgaugang1
15.03.2020 um 11:44
Genau, im Falle des zweiten Kriteriums würdest du dir u und w so konstruieren, dass sie eben nicht mehr im Untervektorraum sind.
Bsw. wenn die Menge nur aus Vektoren besteht, deren Koordinaten ungerade sind. Dann ist u + w ein Vektor mit geraden Koordinaten und kann nach Definition nicht in der Menge sein. Damit wäre das kein Untervektorraum. ─ bohne 15.03.2020 um 12:51
Bsw. wenn die Menge nur aus Vektoren besteht, deren Koordinaten ungerade sind. Dann ist u + w ein Vektor mit geraden Koordinaten und kann nach Definition nicht in der Menge sein. Damit wäre das kein Untervektorraum. ─ bohne 15.03.2020 um 12:51