Wir wissen, dass \(p\) bei \(x=-2\) ein Minimum hat, folglich gilt \(p'(-2)=0\). Dann ist aber auch \(f'(-2)=-\frac{p'(-2)}{p(-2)^2}=0.\) Als Parabel hat \(p\) sonst kein Extremum mehr, also die Ableitung keine weitere Nullstelle und folglich \(f'\) auch keine andere Nullstelle.

Jetzt zur Monotonie: Am Graphen sehen wir, dass \(p\) im Intervall \(]-3;-2[\) streng monoton fällt, folglich ist \( p'(x)<0\) in diesem Intervall. Dann ist dort aber \(f'(x)=-\frac{p'(x)}{p(x)^2}>0\) (das Quadrat ist immer nichtnegativ und das Minus davor dreht das Vorzeichen um. Außerdem ist \(p(x)\neq 0\) in diesem Intervall, sodass der Bruch immer definiert ist.), folglich ist \(f\) streng monoton steigend.

Das andere Intervall geht genauso.

Hey,

du hast ja eine Parabel gegeben,welche symmetrisch ist.

Nun hast du weiterhin auch zwei Nullstellen gegeben. Wenn du bei Parabeln zwei Nullstellen gegeben hast, dann liegt der Scheitelpunkt (bei Parabeln der Hoch bzw. Tiefpunkt) immer zwischen diesen Punkten.

In dem Fall liegen die Nullstellen bei x=-2 und x=-1 und demnach der Scheitelpunkt bei x=-2.

Mit diesem Wissen können wir die Nullstelle der Ableitung bestimmen. Da die Steigung im Extremum immer null ist muss demnach die Ableitung von f bei x=-2 eine Nullstelle haben.

Ich hoffe, dass ich helfen konnte.