In deinem zweiten Integral sollte immer noch \(dx\) stehen, denn das hast du noch nicht substituiert. Du hast schon richtig gerechnet \(dx=\frac{du}{e^x}=\frac{du}{u}\), wenn du jetzt das noch für \(dx\) ins Integral einsetzt, bekommst du \(\begin{align}\int\frac{2u^2+\frac32}{u(2u^2-1)}du\end{align}.\)

Das ist ja jetzt schon eine rationale Funktion (Zähler und Nenner sind Polynome). Der Sinn dahinter ist, dass rationale Funktionen einfach zu integrieren sind. Bestimme die Nullstellen des Nenners, mach Partialbruchzerlegung und du bist schon fast fertig.

Falls du noch Fragen zur Substitution oder zur Rechnung danach hast, kannst du gern nochmal fragen.