Gradientenvektor, Tangentialebene

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a bekomme ich glaube ich noch hin (Berechnung der partiellen Ableitungen?), aber bei b und c weiß ich leider nicht weiter.

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
r
roman25512,
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2 Antworten
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Hey Roman, bei (a) hast du recht, dort gilt es die partiellen Ableitungen zu berechnen und damit den Gradientenvektor zu bestimmen. Bei (c) gilt es nun anhand des Gradientenvektors aus (a), dem Punkt Q aus (b) und den hier gegebenen Richtungsvektoren die Richtungsableitungen zu bestimmen. Dafür gehst du wie folgt vor: 1. Berechne den Wert des Gradienten im Punkt Q (also Q in den Gradienten einsetzen) 2. Normiere die Richtungsvektoren auf die Länge 1, in dem du mit 1/Betrag des Richtungsvektors multiplizierst. 3. Berechne das Skalarprodukt aus deinem Gradienten im Punkt Q mit dem normierten Richtungsvektor aus Schritt 2 Bei (b) hast du ja bereits die partiellen Ableitungen des Gradienten berechnet. Diese beschreiben dir die Richtung der Funktion in Richtung der Koordinatenachsen. Demzufolge baust du dir die Ebene zusammen, in dem du den Funktionswert im Punkt Q berechnest, die partiellen Ableitungen für x, y und z nimmst und deren Wert im Punkt Q berechnest und dann jeweils die partielle Ableitung mit der Änderung der Richtung multiplizierst. \( E = f(Q) + f_x(Q) \cdot (x - Q_x) + f_y(Q) \cdot (y-Q_y) + f_z(Q) \cdot (z - Q_z) \)
geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
El_Stefano, verified
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wird zwar noch dauern bis ich es ganz verstehe aber vielen Dank!!!   -   roman25512, vor 1 Woche, 5 Tage
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Ja, für a) musst du einfach die partiellen Ableitungen berechnen und dann in einen Vektor schreiben.

Die Tangentialebene an \(f\) im Punkt \((x_0,y_0,z_0)\) ist gegeben durch 

\(T(x,y,z)=f(x_0,y_0,z_0)+\frac {\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0)+\frac {\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,z_0)\cdot (y-y_0)+\frac {\delta f}{\delta z}(x_0,y_0,z_0)\cdot (z-z_0)\)

Die Richtungsableitung entlang eines normierten Vektor \(v\) im Punkt \((x_0,y_0,z_0)\) ist gegeben durch

\(D_v f =\nabla f (x_0,y_0,z_0)\circ v\).

Dieses Skalarprodukt wird maximal, wenn \(\nabla f\ ||\ v\) mit dem Maximum \(|\nabla f (x_0,y_0,z_0)|\).

Ich hoffe, das hilft dir weiter, auch wenn es hauptsächlich nur Definitionen waren. Wenn noch etwas unklar ist, frag gerne nach.

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
s
sterecht, verified
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Vielen vielen Dank!   -   roman25512, vor 1 Woche, 5 Tage
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