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Wenn ich folgende Wahrscheinlichkeit habe P(A ∩ B).
P(A ∩ B) ≤ P(A)
Das ist doch falsch, oder?
\(P(A\cap B)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) und \(B\) erfüllt sind. Das ist eine stärkere Aussage als die, dass \(A\) wahr ist, also sollte es intuitiv klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist.
Formal ist \(A\cap B \subseteq A\) und daher \(P(A\cap B)=P(A)-P(A\backslash B)\leq P(A)\), wobei wir im ersten Schritt die Eigenschaft \(P(X)+P(Y)=P(X\cup Y)\) für \(X\cap Y=\emptyset\) und im zweiten Schritt die Nichtnegativität der Wahrscheinlichkeitsfunktion genutzt haben.