Absolutbetrag und Intervall?

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Hi, ich bin bei der Vorbereitung auf mein Studium mit dem Bich „Mathematik Brückenkurs“ von Michael Ruhrländer an eine Stelle gekommen, an der ich nicht weiterkomme. Es geht um den Absolutbetrag vereibt mit dem Intervall. Habe ein Bild von dem Beispiel hinzugefügt. Bei Beispiel a bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe. Ein symmetrisches offenes Intervall zu Null (-a,a) wäre doch beispielweise (-3,3) oder? Und nun zu dem x und dem Betrag von x. Ist mit x eine beliebige reelle Zahl gemeint, die in dem Intervall liegt, also zwischen z.B (-3,3) die Randpunkte nicht eingeschlossen und der Betrag von dieser Zahl x aus diesem Intervall ist dann kleiner als Randpunkt 3. Weil wenn ich jetzt -2 als mein x wähle, ist der Betrag dann ja wegen -(-2) positiv, also 2. Aber ich bekomme doch hier als Betrag immer positive Zahlen raus. Wieso ist dann der Bereich bis -3 mit in der Definition drinne, wenn mein Betrag inner größer oder gleich Null ist? Oder nimmt man dies einfach so hin, wenn man sagt, dass offene Intervall ist symmetrisch zu Null und da der Betrag von x ist -2 gleich 2 ist auch die -2 drinne ist, wegen der Symmetrie? Hoffe ich habe meine Gedanken halbwegs verständlich ausgedrückt. Danke im voraus 😃

 

gefragt vor 2 Wochen, 6 Tage
x
xelak,
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1 Antwort
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Ein Intervall ist ja eine Menge von Punkten, z.B. für \(a=3\) ist \((-3,3)\) die Menge aller Punkte \(x\) mit \(-3<x<3\), also \((-3,3)=\{x\in\mathbb R\colon -3<x<3\}.\) Nun bedeutet \(|x|<3\) genau das gleiche wie \(-3<x<3\), denn entweder ist \(x\geq 0\) und dann ist \(x=|x|<3\) oder \(x<0\) und dann \(-x=|x|<3\Longrightarrow x>-3\), zusammen also wieder \(-3<x<3\). Folglich ist \(-3<x<3 \ \Longleftrightarrow \ |x| < 3\) und deshalb \((-3,3)=\{x\in\mathbb R\colon |x|<3\}.\)

Du kannst dir den Betrag als Abstand zur 0 vorstellen. Dann sollte es logisch erscheinen, dass alle Punkte, deren Abstand zur 0 kleiner als 3 ist, im Intervall \((-3,3)\) liegen.

geantwortet vor 2 Wochen, 6 Tage
s
sterecht verified
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