Beweis/Mengenlehre

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Hallo

Ich habe eine Frage zu dem 1ten Bsp. Ich weiß, dass ich es mit Induktion beweisen muss, aber ich finde keinen passenden Schritt dazu. Kann mir vllt einer helfen?

Mir ist auch klar, dass k= n * 6 ist mit n Element von den natürlichen Zahlen, aber wie beweise ich das zusammen mit den anderen Bedingunen?

Behauptung lautet ja: k+1=n*6 mit der Bedingung: k+2 und k sind Primzahlen..

 

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 6 Tage
d
dorian123,
Student, Punkte: 35
 
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1 Antwort
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Hier wirst du mit Induktion nicht weit kommen, da du ja nur die \(k\) beachten musst, für die \(k+1\) und \( k-1\) Primzahlen sind, und das sind nicht alle \(k\in\mathbb N\). 

Ich geb dir mal einen Ansatz für einen direkten Beweis, der recht offensichtlich ist:

Alle natürlichen Zahlen \( k>6\) kann man in der Form \(6n+m\) schreiben mit \( n\in\mathbb N\) und \( m\in\{0,1,2,3,4,5\}\). 

Jetzt müssen wir einfach \(m=1,2,3,4,5\) durchgehen und überprüfen, dass dann Vorgänger oder Nachfolger keine Primzahl sein kann.

Zum Beispiel für \(m=1,3,5\) ist \(k\) ungerade, also sind \(k-1\) und \(k+1\) gerade. Da es nur eine einzige gerade Primzahl gibt, können sie nicht beide Primzahlen sein.

Jetzt musst du nur noch die Fälle \(m=2;4\) überprüfen. Versuche, dabei Teilbarkeit durch 3 zu nutzen.

geantwortet vor 2 Wochen, 6 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 

Danke schon mal, aber wie ist es nun ersichtlich bei m = 1, 3, 5, dass k durch 6 dann teilbar ist?   -   dorian123, vor 2 Wochen, 6 Tage

Hmm okay, ich glaube ich verstehe nun die Logik dahinter   -   dorian123, vor 2 Wochen, 6 Tage

Aber warte mal, wir haben hiermit nur bewiesen dass es für k < 6 nicht klappt..damit beweist man ja nicht, dass es für alle k > 6 klappt oder ?   -   dorian123, vor 2 Wochen, 6 Tage

Ich sage ja, \(k=6n+m\), \(m\) ist der Rest bei Division durch 6. So kannst du jede Zahl darstellen. Zum Beispiel \(25=4\cdot6+1\) und hier greift die Argumentation, die ich in der Antwort gegeben habe: Vorgänger und Nachfolger sind beide gerade, also keine Primzahlen.
Wir schließen alle anderen Fälle außer den Vielfachen von 6 aus, dann können nur noch diese die Zahlen in Frage sein.
  -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 6 Tage

Okay danke dir:)   -   dorian123, vor 2 Wochen, 6 Tage

Bei 2 und 4 merke ich, dass es mindestens eine Zahl gibt bei k-1 oder k+1 die mit 3 dividierbar ist..
Ist das so, weil gilt: Sei m = 2
6*n+(m+1) = k+1
=> 6*n + 3 = k+1

Wegen dem 3er ist es klar, dass k + 1 durch 3 dividierbar sein muss?
  -   dorian123, vor 2 Wochen, 5 Tage

Genau, und damit nicht prim. Es kann ja nicht die drei selbst sein, da \(k>6\).   -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 5 Tage
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