Beweis/Mengenlehre

Aufrufe: 642     Aktiv: 21.03.2020 um 11:07
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Hallo

Ich habe eine Frage zu dem 1ten Bsp. Ich weiß, dass ich es mit Induktion beweisen muss, aber ich finde keinen passenden Schritt dazu. Kann mir vllt einer helfen?

Mir ist auch klar, dass k= n * 6 ist mit n Element von den natürlichen Zahlen, aber wie beweise ich das zusammen mit den anderen Bedingunen?

Behauptung lautet ja: k+1=n*6 mit der Bedingung: k+2 und k sind Primzahlen..

 

 

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Hier wirst du mit Induktion nicht weit kommen, da du ja nur die \(k\) beachten musst, für die \(k+1\) und \( k-1\) Primzahlen sind, und das sind nicht alle \(k\in\mathbb N\). 

Ich geb dir mal einen Ansatz für einen direkten Beweis, der recht offensichtlich ist:

Alle natürlichen Zahlen \( k>6\) kann man in der Form \(6n+m\) schreiben mit \( n\in\mathbb N\) und \( m\in\{0,1,2,3,4,5\}\). 

Jetzt müssen wir einfach \(m=1,2,3,4,5\) durchgehen und überprüfen, dass dann Vorgänger oder Nachfolger keine Primzahl sein kann.

Zum Beispiel für \(m=1,3,5\) ist \(k\) ungerade, also sind \(k-1\) und \(k+1\) gerade. Da es nur eine einzige gerade Primzahl gibt, können sie nicht beide Primzahlen sein.

Jetzt musst du nur noch die Fälle \(m=2;4\) überprüfen. Versuche, dabei Teilbarkeit durch 3 zu nutzen.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Ich sage ja, \(k=6n+m\), \(m\) ist der Rest bei Division durch 6. So kannst du jede Zahl darstellen. Zum Beispiel \(25=4\cdot6+1\) und hier greift die Argumentation, die ich in der Antwort gegeben habe: Vorgänger und Nachfolger sind beide gerade, also keine Primzahlen.
Wir schließen alle anderen Fälle außer den Vielfachen von 6 aus, dann können nur noch diese die Zahlen in Frage sein.   ─   sterecht 20.03.2020 um 17:28
Genau, und damit nicht prim. Es kann ja nicht die drei selbst sein, da \(k>6\).   ─   sterecht 21.03.2020 um 11:07

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