Für die a) suchst du das Maximum von \(f\). Dazu berechnest du zuerst mittels Produkt- und Kettenregel die erste Ableitung von \(f\) und berechnest dann die Nullstelle, das ist das Extremum. Um dann die Konzentration zu zu finden, musst du diesen \(x\)-Wert wieder in die ursprüngliche Funktion einsetzen.

Für die b) brauchst du das Extremum von \(f'\), also analog zur a) die Nullstelle von \(f''\).

Für die c) musst du die Tangente im Punkt \(x_0=6\) aufstellen. Dazu dient die Formel \(t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\). Dann musst du nur noch die Nullstelle dieser Tangente bestimmen.

(a) Klassische Berechnung des Extremas, dafür 1. Ableitung bestimmen (Achtung hier versteckt sich die Produktregel) und anschließend mit der notwendigen Bedingung f‘(t) = 0 die Extremalstellen t* berechnen. Um wirklich das Maximum zu bestimmen, brauchst du die 2. Ableitung für die hinreichende Bedingung (f‘‘(t*) > 0 => t* ist Minimum / f‘‘(t*) < 0 => t* ist Maximum). Am Ende das t* in die Funktion einsetzen, um den Maximalpunkt zu berechnen. t* entspricht also dem in der Aufgabe geforderten Zeitpunkt und f(t*) ist die maximale Konzentration. (b) Gesucht ist auch hier ein Zeitpunkt t*, an dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. Dafür musst du das Maximum der 1. Ableitung bestimmen. Die 1. Ableitung gibt die Änderung der Konzentration an und du suchst eben die maximale Veränderung der Konzentration, also das Maximum der 1. Ableitung. Also musst du die 2. Ableitung bilden, diese f‘‘(t) = 0 setzen (das ist übrigens auch die notwendige Bedingung für Wendepunkte) und damit erneut ein t* berechnen. Durch die 3. Ableitung überprüfen ob t* ein Maximum ist (f‘‘‘(t*) < 0 muss dafür gelten). (c) Die allgemeine Tangentengleichung lautet T(t) = mt + n. Dabei ist m der Anstieg der Tangente und n der Schnittpunkt mit der y-Achse. Den Anstieg m der Tangente sollst du wie in der Aufgabe beschrieben am Punkt (6,f(6)) bestimmen. Der Anstieg der Funktion f(t) entspricht der Ableitung, die du ja bereits in (a) berechnen sollst, also rechnest du m = f‘(6). Zur Bestimmung von n rechnest du: n = f(6) - 6m = f(6) - 6 f‘(t). Damit hast du dann deine lineare Funktion der Tangente am Punkt (6,f(6)) bestimmt. Als letztes sollst du noch berechnen, wann das Medikament vollständig abgebaut ist, also musst du die Nullstelle deiner Tangentenfunktion berechnen. Also 0 = mt + n musst du nach t umstellen, also t = -n/m mit deinen zuvor berechneten Werten für m und n. Ich hoffe das gibt dir genügend Ansätze mit denen du erstmal weiter kommst. Viele Grüße Stefan