a) Zuerst stellen wir sicher, dass wir nicht durch \(0\) teilen, also weder \(x\) noch \(2x\) den Wert \(0\) annimmt. Für beide Nenner wäre dies der Fall, wenn \(x=0\). Also ist \(0\) nicht in der Definitionsmenge. \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}\).

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = 1\) (Da der Hautpnenner leicht zu bilden ist, bilden wir ihn).

\(\frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = 1\)

\(\frac{3}{2x} = 1\qquad|\cdot 2x\)

\(3 = 2x\qquad|:2\)

\(\frac{3}{2} = x\)

Da \(\frac{3}{2}\) in der Definitionsmenge ist, ist \(x=\frac{3}{2}\) die Lösung der Gleichung.

b) Zuerst stellen wir sicher, dass wir nicht durch \(0\) teilen, also weder \(2x\) noch \(8x\) den Wert \(0\) annimmt. Für beide Nenner wäre dies der Fall, wenn \(x=0\). Also ist \(0\) nicht in der Definitionsmenge. \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}\).

\(\frac{5}{2x} + \frac{3}{8x} = -2\) (Da der Hautpnenner leicht zu bilden ist, bilden wir ihn).

\(\frac{20}{8x} + \frac{3}{8x} = -2\)

\(\frac{23}{8x} = -2\qquad|\cdot 8x\)

\(23 = -16x\qquad|:(-16)\)

\(-\frac{23}{16} = x\)

Da \(-\frac{23}{16}\) in der Definitionsmenge ist, ist \(x=-\frac{23}{16}\) die Lösung der Gleichung.