Kann das jemand für mich lösen?

Aufrufe: 89     Aktiv: vor 2 Wochen, 4 Tage

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gefragt vor 2 Wochen, 4 Tage
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pilzkopp,
Student, Punkte: 12
 
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2 Antworten
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Hallo,

nutze folgenden Zusammenhang

$$ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $$

daraus erhalten wir

$$ \sin^2(t) = 1 - \cos^2(t) $$

bzw

$$ \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) $$

Wenn du das einsetzt, erhälst du eine Summe von Sinus bzw Kosinusfunktionen. Diese kannst du dann mit den beiden Additionstheoremen

$$ \cos^2(t) = \frac 1 2(\cos(2t) +1 ) $$

bzw

$$ \sin^2(t) = \frac 1 2 (1 - \cos(2t)) $$

noch weiter vereinfacht werden und letztendlich gelöst werden.

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 21.99K
 

Ich habe jetzt 1-cos^2(t) eingesetzt um es zu vereinfachen, habe aber durch die Multiplikation nun folgendes Integral: 3/2(Integral) cos^4(t)-cos^6(t)dt+3/2(Integral)sin^4(t)-sin^6(t)dt
Wie geht es denn nun weiter?
  -   pilzkopp, vor 2 Wochen, 4 Tage

Betrachten wir erstmal nur eins, das andere läuft ziemlich analog.
Wir haben jetzt das Integral
$$ \int \cos^4(t) - \cos^6(t) \, \mathrm{d}t = \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t - \int \cos^6(t) \, \mathrm{d}t $$
Wir betrachten zuerst das vordere
$$ \int \cos^4(t) \, \mathrm{d}t = \int \left( \frac 1 2 (\cos(2t) + 1) \right)^2 \, \mathrm{d} t = \frac 14 \int \cos^2(2t) + 2\cos(2t) + 1 \, \mathrm{d}t $$
Den ersten Summanden kannst du nochmal mit dem Zusammenhang
$$ \cos^2(2t) = \frac 1 2( \cos(4t) +1 ) $$
vereinfachen.
Danach kannst du jeden Summanden einzeln betrachten. Das gleiche machst du auch mit
$$ \int \cos^6(t) \, \mathrm{d} t $$
( hier einmal öfter) und mit
$$ \sin^2(t) = \frac 1 2(1 - \cos(2t) ) $$
kannst du das auch mit dem anderen Integral machen.

Das ganze dauert etwas, ist aber der einzige Weg der mir gerade dazu einfällt. Diese beiden Additionstheoreme würde ich mir übrigens immer im Kopf behalten. Die sind sehr häufig sehr hilfreich :)
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 4 Tage

Danke, ist gelöst :D
  -   pilzkopp, vor 2 Wochen, 4 Tage

Sehr gerne :) Freut mich zu hören.   -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 4 Tage
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Es ist sinnvoll erstmal die beiden Integrale zusammenzufassen. Man kann dann \( \sin ^2 (t) \cos ^2(t) \) ausklammern und mit \( \sin ^2 (t) +\cos ^2(t) =1 \) erhält man folgendes Integral: \[ \frac{3}{2} \int _0 ^{2\pi} \sin ^2 (t) \cos ^2 (t) \, dt \] .

Jetzt kann man die Formeln für \( \cos ^2 (t) \) und \( \sin ^2 (t) \) aus der Antwort drüber einsetzen und erhält: \[  \frac{3}{2} \int _0 ^{2\pi} 1 - \cos ^2 (2t) \, dt \] .

Jetzt verwendet man nochmal die Formel für \( \cos ^2 (t) \) von oben, wobei man für \( t \) nur  \( 2t \) einsetzt.

Dann lassen sich alle auftretnden Integrale lösen und man kommt zu dem Ergebnis \( \frac{3 \pi}{8} \) .

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
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anonym42
Student, Punkte: 175
 

Oh ja das beschleunigt es nochmal. Gute Idee!   -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 4 Tage
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