Ganzrationale Funktionen

Aufrufe: 43     Aktiv: vor 1 Woche, 3 Tage

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Hi leute, ich verstehe das thema ganzrationale/polynom funktionen einfach nicht. Ich bleibe schon bei der definition hängen. Kann mir jemand erklären (am besten so einfach wie möglich ;)) was so eine funktion ist? Auch die form der funktion verstehe ich nicht. Das mit xn und x-n. Vielen dank schonmal und bleibt gesund Tim

 

gefragt vor 1 Woche, 3 Tage
t
tim_eh77,
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2 Antworten
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Hallo,

eine ganzrationale Funktion/Polynomfunktion hat die allgemeine Form

$$ \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x_n $$

Das sieht erstmal sehr kompliziert aus, heißt aber nur fogendes.

Unsere Funktion ist eine Summe. Jeder Summand ist ein so genanntes Monom. Poly heißt "viel" und Polynom dann sowas wie "viele Monome". 
Ein Monom ist ein Produkt aus einem Koeffizienten (im Prinzip einer Zahl, einem Vorfaktor) und einer natürlichen Potenz einer Variablen (zum Beispiel x^2).
Beispiele für Monome sind

$$ 7x, \, 15x^2, \, x, \ldots $$

natürlich muss eine Variable nicht immer \( x \) heißen.

$$ 12a^7 $$

wäre auch ein Monom mit der Variable \( a \).

Wir sortieren ein Polynom für gewöhnlich von der höchsten zur niedrigsten oder von der niedrigsten zur höchsten Potenz. Das soll im Prinzip auch die Summendarstellung sagen.

$$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 $$

oder 

$$ a_4 x^4 + a_3  x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$

Die höchste vorkommende Potenz ist die Ordnung des Polynoms. Das obige wäre also von der Ordnung \( 4 \).

Beispiel für ein Polynom 3ten Grades wäre

$$ f(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2 $$

5tenGrades

$$ g(x) = x^5 + 3x^4 + x -2 $$

Wenn eine Potenz nicht vorkommt, dann ist in der allgemeinen Gleichung einfach eine Null als Vorfaktor. Ohne Vorfaktor ist eine \( 1 \) und das Monom ohne \( x \), hat die Potenz \(0\).

$$ x^5 + 3x^4 + x - 2 = 1x^5 + 3x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 1x - 2x^0 $$

Falls noch etwas unklar ist, dann melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
christian_strack, verified
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Hallo,

hier noch ein paar Beispiele zur Erklärung von sterecht:

\(f(x) = 5\cdot x^{3} - 2\cdot x_{2}+1\),

\(f(x) = -3\cdot x^{7}+\frac{4}{7}\cdot x^{5} -\frac{8}{3}\cdot x^{2}+x\),

\(f(x) = x\) sind drei granzrationale Funktionen. Sogar \(f(x)=3\) (auch wenn sie nicht nach viel aussieht) ist eine solche.

Viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
m
monil, verified
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