Rechteck mit dem größten Flächeninhalt

Aufrufe: 39     Aktiv: vor 2 Wochen, 4 Tage

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Hi,

ich hatte letztens eine Aufgabe, wo ich von einem Rechteck mit dem Umfang 25cm herausfinden sollte, welche Maße das Rechteck haben muss, damit der Flächeninhalt maximal ist. Ich habe also eine Funktion aufgestellt, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von der breite angibt. Davon habe ich die Ableitung gebildet um den Extrempunkt herauszufinden, welcher dann bei 6,25 lag. An diesem Punkt war der Flächeninhalt 39,0625cm^2. Um jetzt auch noch die länge des Rechtecks herauszufinden, muss man ja den Flächeninhalt durch die breite teilen. Da kam dann auch 6,25cm raus. 

Das bedeutet dass die idealen Maße für den maximalen Flächeninhalt gleich groß sind bzw. ein Quadrat vorliegt. 

Jetzt zur Frage: Ist das Zufall? Bedeutet das, dass der maximale Flächeninhalt immer im Quadrat vorliegt? Weil dann hätte ich doch schon zu Anfang direkt den Umfang (25) durch 4 Teilen können (wegen 4 gleich großen Seiten) und dann wäre ich auch auf meine 6,25 gekommen.

Ich würde mich freuen, wenn mich jemand über maximale Flächenberechnung aufklären könnte. 

Vielen Dank im Voraus. 

 

gefragt vor 2 Wochen, 4 Tage
a
alexanderr.,
Schüler, Punkte: 18
 
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2 Antworten
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Das ist kein Zufall, sondern immer so. Bei vorgegebenem Umfang und keinen weiteren Einschränkungen ist der Flächeninhalt eines Rechtecks maximal, wenn es ein Quadrat ist. Das kannst du selbst ganz einfach zeigen, wenn du statt mit 25 mit einem Parameter \(U\) für den Umfang rechnest, dann findest du heraus, dass die optimale Seitenlänge \(\frac U4\) ist. 

Der Grund dafür ist Symmetrie: Vertauscht du Breite und Höhe, bleibt der Flächeninhalt gleich. Folglich muss an der Stelle, an der Breite und Höhe gleich sind, ein Extremum vorliegen. Dieses ist ein Maximum, da die Minima bei Höhe 0 oder Breite 0 liegen. (Alles sehr schwammig, kein Beweis, aber man könnte es zu einem Beweis machen. Das soll nur Verständnis schaffen.)

Es geht sogar noch mehr: Für jedes \(n\)-Eck hat bei gegebenem Umfang das regelmäßige \(n\)-Eck die größte Fläche, wobei für \(n>m\) das \(n\)-Eck eine größere Fläche als das \(m\)-Eck hat. Die größte Fläche bei gegebenem Umfang ohne Einschränkung an die Form hat ein Kreis.

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 
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Ja der maximale Flächeninhalt ist immer ein Quadrat.

Das kannst du auch genauso, wie in deiner Aufgabe nachrechnen, indem du den Umfang \( U \) als Variable betrachtest.

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
a
anonym42
Student, Punkte: 175
 
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