Stochastik

Aufrufe: 255     Aktiv: vor 4 Monate, 1 Woche

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Bei einem Schulfest veranstaltet die Klasse 12 a eine Tombola, bei der 20.000 Lose verkauft werden. In der Lostrommel sind 5% Hauptgewinne, 30% Trostpreise, der Rest sind Nieten.

a) Herr Glück ist der erste Teilnehmer und kauft 10 Lose.

Begrünen Sie, weshalb man die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Hauptgewinne, die Herr Glück kauft, näherungsweise (aber nicht exakt) mit der Binominalverteilung bestimmen kann und geben Sie die dazugehörigen Parameter der Binominalverteilung für diesen Zufallsversuch an.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Ereignisse "Im ersten Zuh ein Hauptgewinn" und "Im zweiten Zug ein Hauptgewinn" gleich sind.

Kann mir vielleicht jemand helfen? ich verzweifel gerade..

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
A
AsunaYuukiSan,
Punkte: 10

 

Hast du zunächst mal eine Idee wieso du die Binomialverteilung hier anwenden kannst?

  -   janxlucas, vor 4 Monate, 2 Wochen

Vielleicht weil es sich um eine Kombination mit widerholung handelt?

  -   AsunaYuukiSan, vor 4 Monate, 2 Wochen

Ja das ist auf jeden Fall eine Bedingung, aber was bei Binomialverteilung noch wichtig ist, das du für jede Wiederholung die gleichen Wahrscheinlichkeiten(oder annähernd gleiche Wahrscheinlichkeiten) hast. Wenn du das sichergestellt hast darfst du die Formel für die Binomialverteilung anwenden. Ich denke die hast du in deinem Buch. Schau dir diese mal an und falls du nicht weist wie du die Parameter (also die Variablen p,q,n,....) bestimmen sollst schreib einfach;)

  -   janxlucas, vor 4 Monate, 2 Wochen
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1 Antwort
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Hallo,

nicht verzweifeln, ist nur Mathe ;-)

Für was ist denn die Binomialverteilung gut? Es wird Wahrscheinlichkeit bestimmt genau \(k\) "Treffer" bei \(n\) Versuchen zu haben. Dabei ist die Trefferwahrscheinlichkeit konstant \(p\). D.h. sie verändert sich nicht egal wieviele Versuche bereits durchgeführt wurden. Hier kann man die auf den ersten Blick also nicht verwenden, denn die Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn zu bekommen verändert sich bei jedem ziehen: Beim ersten zu ist die Währscheinlichkeit z.B. \(\frac{1000}{20000}=5\%\) (logisch: Anteil der Hauptgewinne in der Tombola). Nach dem ersten Mal ziehen sieht es aber schon anders aus - da muss schon unterschieden werden: war der erste Zug ein Hauptgewinn? Dann ist die Wkt. für einen Hauptgewinn im zweiten Zug \(\frac{999}{19999}=4,995\%\). War der erste Zug dagegen kein Hauptgewinn, so ist die Wkt. für einen solchen im zweiten Zug \(=\frac{1000}{19999}=5,0002\%\). Aus diesen Gründen ist die Binomialverteilung eigentlich nicht geeignet. ABER Der H. Glück zieht ja nur 10 Lose und er ist auch noch der erste Teilnehmer (es sind also noch 20000 Lose im Rennen). Wir können ja mal abschätzen in welchem Bereich sich die Hauptgewinn-wkt. bei 10 gezogenen Losen bewegt: Wenn 10 Nieten gezogen wurden, dann ist die Wkt. für einen Hauptgewinn im 11. Zug: \(\frac{1000}{19990}=5,0025\%\). Wenn 10 Hauptgewinne raus sind, dann kriegen wir: \(\frac{990}{19990}=4,9525\%\). Das sind beides keine riesigen Abweichungen von 5%, also kann man für die ersten 10 Lose sicherlich näherungsweise davon ausgehen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0,05\) in einer Binomialverteilung \(B(10;0,05;k)\) ist, wobei \(k\) die Anzahl Hauptgewinne in 10 gezogenen Losen ist.

Rechnen wir noch die Wkten aus, die verlangt sind: Nennen wir \(E_1=\text{"Hauptgewinn im 1. Zug"}\) und \(E_2=\text{"Hauptgewinn im 2.Zug"}\).

\(P(E_1)=0,05\) - das ist einfach 5% der Lose sind Hauptgewinne, alle Lose sind noch im Rennen.

Für \(P(E_2)=P(\text{1.Zug Hauptgewinn und 2.Zug Hauptgewinn})+P(\text{1.Zug kein Hauptgewinn und 2.Zug Hauptgewinn})\)

\(= \frac{1000}{20000}\cdot\frac{999}{19999}+\frac{19000}{20000}\cdot\frac{1000}{19999}=\frac{1000\cdot (999+19000)}{20000\cdot 19999}=\frac{1000\cdot 19999}{20000\cdot 19999}=\frac{1000}{20000}=0,05\).

D.h. beide Ereignisse sind gleich wahrscheinlich.

Hoffe das war alles verständlich,

Viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
monil verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.19K
 

Prinzipiell geb ich dir recht, das die Binomialverteilung hier an der Stelle nicht optimal ist aber in Anbetracht der 20000 Lose eine Näherung (wie es auch in der Aufgabenstellung steht) darstellt.

  -   janxlucas, vor 4 Monate, 2 Wochen

Das hab ich doch ausgeführt und vorgerechnet, dass hier eine Näherung ok ist...?!?

  -   monil, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Ja natürlich, du hast recht... Sollte in Zukunft einfach alles lesen und nicht nur die ersten paar Sätze:D

  -   janxlucas, vor 4 Monate, 1 Woche
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