Hallo,

nicht verzweifeln, ist nur Mathe ;-)

Für was ist denn die Binomialverteilung gut? Es wird Wahrscheinlichkeit bestimmt genau \(k\) "Treffer" bei \(n\) Versuchen zu haben. Dabei ist die Trefferwahrscheinlichkeit konstant \(p\). D.h. sie verändert sich nicht egal wieviele Versuche bereits durchgeführt wurden. Hier kann man die auf den ersten Blick also nicht verwenden, denn die Wahrscheinlichkeit einen Hauptgewinn zu bekommen verändert sich bei jedem ziehen: Beim ersten zu ist die Währscheinlichkeit z.B. \(\frac{1000}{20000}=5\%\) (logisch: Anteil der Hauptgewinne in der Tombola). Nach dem ersten Mal ziehen sieht es aber schon anders aus - da muss schon unterschieden werden: war der erste Zug ein Hauptgewinn? Dann ist die Wkt. für einen Hauptgewinn im zweiten Zug \(\frac{999}{19999}=4,995\%\). War der erste Zug dagegen kein Hauptgewinn, so ist die Wkt. für einen solchen im zweiten Zug \(=\frac{1000}{19999}=5,0002\%\). Aus diesen Gründen ist die Binomialverteilung eigentlich nicht geeignet. ABER Der H. Glück zieht ja nur 10 Lose und er ist auch noch der erste Teilnehmer (es sind also noch 20000 Lose im Rennen). Wir können ja mal abschätzen in welchem Bereich sich die Hauptgewinn-wkt. bei 10 gezogenen Losen bewegt: Wenn 10 Nieten gezogen wurden, dann ist die Wkt. für einen Hauptgewinn im 11. Zug: \(\frac{1000}{19990}=5,0025\%\). Wenn 10 Hauptgewinne raus sind, dann kriegen wir: \(\frac{990}{19990}=4,9525\%\). Das sind beides keine riesigen Abweichungen von 5%, also kann man für die ersten 10 Lose sicherlich näherungsweise davon ausgehen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0,05\) in einer Binomialverteilung \(B(10;0,05;k)\) ist, wobei \(k\) die Anzahl Hauptgewinne in 10 gezogenen Losen ist.

Rechnen wir noch die Wkten aus, die verlangt sind: Nennen wir \(E_1=\text{"Hauptgewinn im 1. Zug"}\) und \(E_2=\text{"Hauptgewinn im 2.Zug"}\).

\(P(E_1)=0,05\) - das ist einfach 5% der Lose sind Hauptgewinne, alle Lose sind noch im Rennen.

Für \(P(E_2)=P(\text{1.Zug Hauptgewinn und 2.Zug Hauptgewinn})+P(\text{1.Zug kein Hauptgewinn und 2.Zug Hauptgewinn})\)

\(= \frac{1000}{20000}\cdot\frac{999}{19999}+\frac{19000}{20000}\cdot\frac{1000}{19999}=\frac{1000\cdot (999+19000)}{20000\cdot 19999}=\frac{1000\cdot 19999}{20000\cdot 19999}=\frac{1000}{20000}=0,05\).

D.h. beide Ereignisse sind gleich wahrscheinlich.

Hoffe das war alles verständlich,

Viele Grüße,

MoNil