Hallo,

Du kannst mit Hilfe des Satzes von Bayes zunächst mal \(P_B(\overline{A})\) berechnen: \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{P_B\left(\overline{A}\right)\cdot P(B)}{P(A)}\). Dadurch bekommst Du \(P(\overline{A}\cap B) = P_B(\overline{A})\cdot P(B)\). Da die beiden Mengenschnitte \(\overline{A}\cap B\) und \(A\cap B\) disjunkt sind, darfst Du \(P\left((\overline{A}\cap B) \cup \left( A\cap B\right)\right) = P(\overline{A}\cap B)+P(A\cap B)\) schreiben. Andererseits  gilt \(B = \overline{A}\cap B \cup A\cap B\), also

\(P(B)=P(\overline{A}\cap B)+P(A\cap B)\). Wir wollen \(P_A(B)\). Da per Definition \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\) erhalten wir:

\(P(B) = P(\overline{A}\cap B)+P_A(B)\cdot P(A)\) welches wir nach dem gesuchten auflösen können: \(P_A(B)=\frac{P(B)-P(\overline{A}\cap B)}{P(A)}\).

Hoffe ich hab mich hier nicht vertan, aber ich denke das wäre die Lösung.

Viele Grüße,

MoNil