Rekonstruktion von funktionen

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gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
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Hallo!

Zu Teil a): Eine Polynomfunktion 2.Grades sieht so aus: \(f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\), dabei sind \(a,b,c\) irgendwelche Zahlen (die wir herausfinden müssen) und \(a\ne 0\) (das ist wichtig, denn sonst wäre der Grad nicht mehr 2, sondern 1 oder auch 0).

Was wissen wir alles?

1. Der Graph von f schneidet die y-Achse bei \(y=-2,5\), d.h, es muss \(f(0)=-2,5\) erfüllt sein. Wenn wir die allgemeine Funktionsgleichung verwenden (die oben), dann erhalten wir eine erste Gleichung: \(a\cdot 0^{2} + b\cdot 0 + c = -2,5 \Leftrightarrow c = -2,5\)

2. Als nächstes verarbeiten wir die Information, dass die Funktion einen Hochpunkt bei \((3\Big|2\) hat. Daraus schließen wir zum einen, dass \(f'(3)=0\) sein muss und zum anderen auch \(f(3)=2\) gilt. Berechnen wir die Ableitung \(f'(x)=2\cdot ax +b\) und setzen wir H darin ein:

\(f'(3)=2\cdot a\cdot 3 + b = 0 \Leftrightarrow 6a+b=0\). Dazu (und mit \(c=-2,5\)) stellen wir die Gleichung: \(f(3)=9a+3b-2,5 = 2\) auf. Aus der ersten Gleichung erhalten wir \(b=-6a\) was wir wiederrum in \(f(3)\) einsetzen können:

\(9a-18a-2,5 = 2\) Umformen: \(-9a=4,5\Leftrightarrow a=-0,5 \Rightarrow b=-6\cdot (-0,5=3\). Alles zusammengenommen erhalten wir:

\(f(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+3b-\frac{5}{2}\)

Teilaufgabe b) funktioniert jetzt genauso (vom Prinzip). Diesmal ist die Funktion allerdings vom Grad 3, d.h. sie sieht so aus \(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\). \(a\ne 0\) müssen wir wieder verlangen. Versuche Dich doch mal selbst daran und poste auf was Du kommst.

Tipp: Du brauchst insgesamt vier Informationen um a,b,c,d bestimmen zu können. Wendepunktbedingung für \(\text{W}\,(-2\,\Big|\,6\) anwenden. Außerdem: wie rechnest Du die Steigung der Wendetangente aus?

Viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
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