Hallo,
der Weg wie Du es beschreibst wäre dieser hier: Richtungsvektoren bestimmen.
\(\vec{DC} = \left(\matrix{0\\10\\15}\right)-\left(\matrix{0\\0\\20}\right)=\left(\matrix{0\\10\\-5}\right)\)
\(\vec{DH} = \left(\matrix{30\\0\\20}\right)-\left(\matrix{0\\0\\20}\right)=\left(\matrix{30\\0\\0}\right)\)
Dann die Normale vermittels Kreuzprodukt ausrechen: \(\left(\matrix{0\\10\\-5}\right) \times \left(\matrix{30\\0\\0}\right)=\left(\matrix{10\cdot 0-(-5)\cdot 0\\-5\cdot 30 - 0 \cdot 0\\ 0\cdot 0 - 10\cdot 30}\right) = \left(\matrix{0\\-150\\-300}\right)=-150\cdot\left(\matrix{0\\1\\2}\right)=\vec n\). Die -150 können wir hier einfach wegwerfen, denn wichtig ist nur, dass die Normale \(\vec n\) wirklich senkrecht ist, der Faktor -150 "streckt" ja nur und das Minus dreht die Richtung in die der Vektor zeigt, beides ändert aber am rechten Winkel nichts. Dann schreiben wir \(\vec n\) in die Koordinatengleichung:
\(E: n_{1}\cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = a\) ergibt: \(E:x_2+2x_3=a\), bleibt nur noch \(a\) zu bestimmen. Dazu setzen wir den Punkt \(D\) ein: \(0+2\cdot 20=a \Rightarrow a=40\). Zusammen ergibt sich also \(E: x_{2}+2x_{3}=40\).
Anmerkung: wo bei mir \(x_1,\ x_2,\ x_3\) würdest Du \(x,\ y,\ z\) schreiben...
Viele Grüße,
MoNil