Nullvektor als Linearkombination von Vektoren darstellen

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Die Vektoren u, v, w seien drei linear unabhängige Vektoren aus einem beliebigen reellen Vektorraum V.
Untersuchen Sie jeweils, ob der Nullvektor o ∈ V nur auf triviale Weise als Linearkombination der Vektoren a, b, c darstellbar ist.
a) a = −u + 2v − 3w, b = 2u + v − 2w, c = 3u − v + 3w 

Kann mir jemand einen Denkanstoß geben, wie ich das mache, bzw ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin?

Hab ein Gaußsystem aufgstellt und da kommt dann folgendes raus:
I    u - 2v + 3w = 0
II   0 + 5v - 6w = 0
III  0 +  0  + 0  = 0

ist das der richtige Weg?

 

gefragt vor 2 Wochen, 3 Tage
v
vardowin,
Punkte: 12
 
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1 Antwort
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Hallo,

\(u,v\) und \( w \) sind linear unabhängig, das bedeutet

$$ \lambda_1 u + \lambda_2 v + \lambda_3 w = 0 $$

wird nur für \( \lambda_i = 0 \, \forall i \in \{1,2,3\} \) gelöst. Man sagt auch, das diese Gleichung nur die triviale Lösung hat.

Nun sollen wir gucken, ob die Vektoren \(a,b \) und \(c \) auch linear unabhängig sind. 

Wir setzen

$$ \mu_1 a + \mu_2 b + \mu_3 c = 0 $$

an. Nun ersetze doch mal \(a,b \) und \( c \) durch die Vektoren \( u,v \) und \( w \) und fasse mal zusammen. Du erhälst dann 3 Gleichungen aus den Vorfaktoren von \(u,v \) und \( w \). Diese müssen gleich Null sein, da \(u,v \) und \( w \) linear unabhängig sind, Daraus erhälst du ein LGS für \( \mu_i \). Dieses gilt es zu lösen.

Wofür steht die Lösung dieses LGS? 

Versuch dich mal. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen, 3 Tage
christian_strack verified
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Meinst du μ1 (-u+2v-3w) + μ2 (2u+v-2w) + μ3 (3u-v+3w) = 0 ?

Mich verwirrt die Aufgabe total, weil a,b und c wieder aus Vektoren bestehen
  -   vardowin, vor 2 Wochen, 2 Tage

Ja genau. Nun klammere alles aus und sortiere mal alle Vektoren. Dann klammere die Vektoren \( u,v \) und \( w \) aus. Dadurch erhalten wir eine gleichung der Form
$$ (\dltos ) u + (\ldots ) v + ( \ldots ) w = 0 $$
Wir wissen ja durch die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren, das diese Gleichung nur erfüllt wird, wenn die Inhalte der Klammern Null werden.
Aber zuerst zu dem Inhalt der Klammern. Kannst du die Gleichung so umstellen?
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Ahh danke das hat schon mal echt weiter geholfen.
Hab dann (-μ1 + 2μ2 + 3μ3)u + (2μ1 + μ2 - μ3)v + (-3μ1 -2μ2 +3μ3)w = 0

I -μ1 + 2μ2 + 3μ3 = 0
II 0μ1 + 4μ2 + 5μ3 = 0
III 0μ1 + 0μ2 + 4μ3 = 0
  -   vardowin, vor 2 Wochen, 2 Tage

DIe zweite Zeile ist
$$ 0 \mu_1 + 5 \mu_2 + 5 \mu_3 = 0 $$
aber das ist gar nicht so wichtig. Ansonsten ist alles richtig.
Welche einzige Lösung erhalten wir hier?
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Ich denke die einzige Lösung ist 0a + 0b + 0c = 0
Weil ich einen Fehler bei II habe muss die dritte Zeile 0μ1 + 0μ2 + 2μ3 = 0 heißen.

*Hatte in meiner Ursprünglichen Antwort das genau andersherum, aber das dürfte ein Denkfehler sein, da für 0μ1 + 0μ2 + 2μ3 = 0 rauskommt, dass μ3 = 0 und rückwärts eingesetzt dann auch μ1 und μ2 = 0 sind.

Und in der anderen Teilaufgabe kommt am Ende 0μ1 + 0μ2 + 0μ3 = 0 raus, das müsste ja bedeuten, dass der Nullvektor nicht nur mit 0a + 0b + 0c = o gebildet werden kann.
  -   vardowin, vor 2 Wochen, 2 Tage

Absolut richtig.
Also sind die Vektoren \( a,b, \) und \( c \) auch linear unabhängig :)
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Vielen Dank, das hat echt geholfen :D   -   vardowin, vor 2 Wochen, 2 Tage

Das freut mich sehr zu hören :)   -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 1 Tag
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