Ableitungsfunktionen und Tangenten

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Bestimmen sie für f:--> \sqrt{x} der Punkt P ( U| V) auf dem Graphen von f so dass die Tangente in p durch A (0|1) ( durch B (3|2) verläuft. Geben sie die Gleichung der Tangenten durch P an. ( Anleitung geben sie mit f´ (u) die Gleichung der Tangente t in P(u|f(u)) an und bestimmen sie dann u so das A auf t liegt.)

Könnte mir jemand erklären muss mir das Thema alleine beibringen durchs Home Office dadruch fehlt mir hier der Ansatz.

Grüße

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
m
mike125,
Schüler, Punkte: 16
 
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1 Antwort
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Hallo,

also zunächst überlegen wir uns mal wie die Tangente \(t\) an den Graphen im Punkt \(\left(u\,|\,f(u)\right)\). \(t\) ist eine Geradengleichung und hat die Steigung \(f'(u)\) (da es ja eine Tangente sein soll), d.h. wir können schon mal sagen: \(t(x)=f'(u)x+C\). \(C\) ist der y-Achsenabschnitt, den können wir jetzt nur bestimmen, wenn wir einen Punkt wüssten, der auf der Graphen der Tangente liegt... Moment, soll nicht \(A\left(0\,|\,1\right)\) da drauf liegen? Die Aufgabe sagt ja, also setzen wir A in die Tangentengleichung ein: \(t(0)=1 \Leftrightarrow f'(u)\cdot 0 + C = 1\Rightarrow C=1\). Wunderbar, damit haben wir: \(t(x) = f'(u)x+1\). Da wir jetzt auch noch wissen, dass der Punkt \(\left(u\,|\,f(u)\right)\) auf der Tangente liegen muss, können wir diesen ebenfalls in die Tangentengleichung einsetzen und daraus \(u\) bestimmen.

Dazu erst ein bisschen Vorarbeit, nämlich \(f'\) bestimmen: Wir haben \(f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) und damit \(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\). Jetzt setzen wir \(x=u\) in \(t\) und bedenken, dass \(f(u)=t(u)\), dann ergibt sich:

\(f(u)=\sqrt{u} = \left(\frac{1}{2\sqrt{u}}\right)\cdot u + 1\). Der Ausdruck \(\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u\) lässt sich umschreiben (kürzen mit \(u=\sqrt{u}\cdot \sqrt{u}\)) als \(\frac{1}{2}\sqrt{u}\), damit vereinfacht sich die Gleichung zu:

\(\sqrt{u}=\frac{1}{2}\sqrt{u}+1\) und damit \(\frac{1}{2}\sqrt{u}=1\), also \(u=4\). Daraus ergibt sich dann

Die Tangente \(t(x) = \frac{1}{4}\cdot x +1\) verläuft durch A und P. Die Koordinaten von P sind damit \(\left(u\,|\,f(u)\right) = \left(4\,|\,2\right)\). Wenn ich mich nicht verrechnet oder einen Denkfehler habe ;-)

Übrigens: Ich weiß nicht so genau, was Dein Punkt B(3|2) in der Angabe zu bedeuten hat. Gebraucht haben wir ihn ja nicht...

Wenn Du noch Fragen hast, raus damit,

viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 2 Wochen
m
monil, verified
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