Restglied berechnen von Simpsonregel

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Hallo ich schreibe im rahmen meines Abiturs eine Facharbeit zum thema Numerische Integration und verstehe nicht so ganz wie man das mit dem restglied bei der simpsonregel macht. Könnte das wer vielleicht verständlich an einem beispiel erklären?

Danke im voraus

Eric

 

gefragt vor 2 Wochen, 3 Tage
e
eebergkamen,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Restgliedabschätzung berechnet sich über

$$ \left|E(f)\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{2880}}\max _{a\leq x\leq b}\left|f^{(4)}(x)\right| $$

Ich denke der erste Bruch ist klar. Dafür benötigen wir lediglich die Grenzen des Integrals.

Nun kommt der hintere Teil sehr auf die Funktion an. Wenn möglich können wir die Ableitung bestimmen und in dem Intervall untersuchen. Bei monoton steigenden Funktionen, können wir einfach das Intervallende einsetzen, bei einer monoton fallenden Funktion den Intervallbeginn. 
Sinus und Kosinusfunktionen sind beispielsweise beschränkt durch \( 1 \). Also die Funktion wird nicht kleiner als \( -1 \) und nicht größer als \( 1 \). Hier können wir deshalb einfach \( 1 \) wählen. 

Es geht im großen und ganzen darum, sich ein Bild von der 4ten Ableitung zu machen und nach oben hin abzuschätzen. Diese Werte müssen nicht exakt sein, sollten aber auch nicht zu groß gewählt werden.

Grüße Christian

Edit: 

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
christian_strack verified
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Danke erstmal für die schnelle antwort. Bei meinem beispiel habe ich 3/x (also als bruch) und den intervall von 1 bis 4, also ((4-1)^5)/(2880)nur wofür steht das max? Das habe ich nicht so ganz verstanden.   -   eebergkamen, vor 2 Wochen, 2 Tage

Wir berechnen die vierte Ableitung deiner Funktion
$$ f^{(4)}(x) = \frac {72} {x^5} $$
Nun sollen wir den Wert der Ableitung nehmen, der in dem entsprechndem Intervall die Ableitung maximal werden lässt.
Wenn du dir die Funktion einmal visualisiersts (ich packe dir noch ein Bild in meine ursprüngliche Antwort, sieht man schnell das diese in dem angegebenen Intervall monoton fallend ist. Damit ist der maximale Wert, der Anfangswert unseres Intervalls, nämlich \( x=1 \).
  -   christian_strack, verified vor 2 Wochen, 2 Tage
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