Spurpunkte mit Anwendungen

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Ich habe weder einen Anfangspunkt, noch keine Idee wie ich die Rechenwege aufschreiben soll.

Es wäre lieb, wenn mir jemand die Rechenwege erklären könnte (s. 111 nr. 14 a-c und nr 15 a-d ) 

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
s
sese34,
Schüler, Punkte: 10
 
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14 (a) Du hast jeweils 2 Punkte gegebenen mit den du die 2 Geraden für die Stollen berechnen sollst/kannst. Die eine Gerade verläuft durch A und B, die andere durch C und D. Die Geraden stellst du auf, in dem du Richtungsvektor und Stützvektor der gerade bestimmst. Um zu schauen, ob der Punkt S auf beiden Geraden liegt, machst du eine Punktprobe. Dafür setzt du den Punkt S gleich deinen beiden geraden und schaust, ob es dort eine Lösung gibt. (b) Berechne die Länge der Strecke von A zu S, bzw. von C zu S. Dafür kannst du den Vektor zwischen beiden Punkten ermitteln und anschließend die Länge, also den Betrag des Vektors nehmen. Anschließend teilst du die Länge durch die Bohrgeschwindigkeit und findest heraus, wie lange der Bohrer für Stollen AB braucht. Diese Zeit hast du nun auch für den anderen Stollen. Dort hast du auch die Länge zu berechnen (Also Abstand C zu S) und mit der Zeit der anderen Bohrung kannst du die Bohrgeschwindigkeit bestimmen. (c) Du hast Punkt S und einen Richtungsvektor, damit kannst du erneut eine Gerade aufstellen. Anschließend gilt es den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene zu ermitteln. Die Ebene ist die x-y-Ebene. Deren Ebenengleichung kannst du z.B. in Normalform mit dem Vektor (0,0,0) und dem Normalenvektor (0,0,1) aufstellen. Anschließend den Schnittpunkt P berechnen.
geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
El_Stefano verified
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Hallo,

Ich mache erst einmal die 14. Die 15 hänge ich dann hier dran... das Tippen dauert halt nur....

Für die 14a) Stellen wir doch einfach mal die Geradengleichungen auf, die die Stollen beschreiben:

Kuckucksloch: \(k:\vec X=\vec A+\lambda \cdot \vec{AB} = \left(\matrix{-7\\-3\\-8}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{5\\3\\-1}\right)\) und

Morgenstern: \(m:\vec X = \vec C+\mu \cdot \vec{CD} = \left(\matrix{4\\-6\\-6}\right)+\mu\cdot \left(\matrix{3\\5\\-2}\right)\).

Jetzt musst Du nur überprüfen, ob die beiden Geraden sich schneiden (wenn Du dazu Hilfe brauchst, lass einen Kommentar da).

14b) Nach der a) ist der Punkt \(S\) bekannt.Dazu berechne erst einmal die Länge des Vektors \(\vec{AS}\) und daraus die Länge vom Kuckucksloch in m: \(L_{Kuckucksloch} = |\vec{AS}|\cdot 100\,\text{m}\). Berechne dann die zu bohrende Streckenlänge im Morgenstern wie folgt \(L_{Morgenstern}=|\vec{CS}|\cdot 100\,\text{m}\). Jetzt berechne die Zahl Tage, die es dauern wird in Kuckucksloch bei S rauszukommen: \(L_{Kuckucksloch}:5=\text{Tage}_{Kuckucksloch}\). Damit berechne die notwendige Bohrgeschwindigkeit für Morgenstern: \(L_{Morgenstern}:\text{Tage}_{Kuckucksloch}\).

14c) Hier stellen wir nochmal eine Geradengleichung auf. Dazu brauchen wir allerdings den Punkt \(S\) aus der a). Damit können wir den neuen Stollen wieder als Gerade beschreiben: \(g:\vec X = \left(\matrix{s_1\\s_2\\s_3}\right) + \lambda\cdot \left(\matrix{2\\1\\2}\right)\). Im Text steht, dass die Erdoberfläche die \(x-y-\)Ebene ist. D.h. der Punkt den wir suchen wird \(z=0\) haben müssen. M.a.W. Du musst folgende Gleichung nach \(\lambda\) auflösen: \(s_3+2\lambda=0\) (\(s_3\) ist ja aus der a) bekannt). Die Lösung von \(\lambda\) setzt du dann in die Geradengleichung von \(g\) ein und bekommst den gesuchten Punkt.

Fortsetzung:

zur 15:

a) Zunächst einmal sehen wir, dass A im Koordinatenursprung liegt, d.h. \(A\left(0\,|\,0\,|\,0\right)\). Aufgrund der gegebenen Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ergeben sich weiter: \(B\left(0\,|\,100\,|\,0\right),\ C\left(-100\,|\,100\,|\,0\right),\ D\left(-100\,|\,0\,|\,0\right)\). Aus der gegebenen Höhe von 40 lässt sich sagen, dass \(S\left(-50\,|\,50\,|\,40\right)\).

Die Geraden der Kanten sind nun (die konkreten Zahlen darfst Du einsetzen ;-) )

1. \(\vec X = \vec A + \lambda\cdot \vec{AS}\)
2. \(\vec X = \vec B + \lambda\cdot \vec{BS}\)
3. \(\vec X = \vec C + \lambda\cdot \vec{CS}\)
4. \(\vec X = \vec D + \lambda\cdot \vec{DS}\)

Teil b) Um P zu bekommen, nehmen wir die 2. Gerade aus der a). Wir wissen aus der Angabe, dass P 10m über dem Boden ist, d.h. die \(z-\)Koordinate \(=10\). Wir suchen also die Werte für \(x,\ y\) in: \(P\left(x\,|\,y\,|\,10\right)\). Mit Hilfe dritten Koordinate bestimmen wir das richtige \(\lambda\) indem wir diese Gleichung lösen: \(0+\lambda\cdot 40 = 10\), also \(\lambda=\frac{1}{4}\). Wenn wir dieses \(\lambda\) in Gerade 2 einsetzen kriegen wir den Punkt P: \(\vec P = \left(\matrix{0\\100\\0}\right)+\frac{1}{4}\cdot\left(\matrix{-50\\-50\\40}\right)=\left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)\)

später gehts weiter ...

Fortsetzung 2:

c) Um das Maß der Steigung der Verbindung zu bestimmen stellen wir die Gerade von A nach P auf: \(\vec X = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)\). Jetzt wollen wir von P aus im Grunde die gleiche Steigung weiter wandern, d.h. wir könnten denselben Richtungsvektor nehmen ABER wir wollen ja nicht in y-Richtung weiter sondern in -x Richung. Modifizieren wir also den Richtungsvektor diesbezüglich: das was wir bisher nach rechts gingen, also \(87,5\) wollen wir jetzt nach hinten (d.h. es wird zu \(-87,5\) in x-Richtung) und was zunächst nach hinten (negative x-Richtung) ging, soll nun nach links (negative y-Richtung). Oben bleibt gleich, d.h. die Gerade von P nach Q (den wir noch nicht kennen) kann wie folgt beschrieben werden:

\(\vec X=\vec P + \lambda\cdot\left(\matrix{-87,5\\-12,5\\10}\right)\). Um nun Q zu finden, schneide Gerade 3 (s.o.) mit dieser. Wann die Höhe von 15m erreicht wird, kann genauso wie bei P bestimmt werden: Aus der dritten Zeile in: \(\left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{-87,5\\-12,5\\10}\right)=\left(\matrix{x\\y\\15}\right) \lambda\) bestimmen \(\Rightarrow \lambda=\frac{1}{2}\), dann \(x,\ y\) ausrechen.

Teil d) Dafür jede der Geraden 1 bis 4 mit \(\left(\matrix{x\\y\\20}\right)\) gleichsetzen und jeweils \(x,\ y\) bestimmen. Bestimme die Höhe so, dass das Grundflächen-Quadrat der Schnittpyramide 25\(\text{m}^2\) hat. MaW Jede Seite ist genau \(5\) lang (Quadrat...) Hier genügt es zwei der Kantengeraden zu nehmen die benachbart sind, zb die Gerade von A nach S und dazu die von B nach S. Hier ist die gesuchte Seitenbreite in der y-Richtung. Da alles hier symmetrisch ist und der Boden der Pyramide brav in der x-y-Ebene liegt, können wir also die y-Komponenten beider Geraden nehmen und voneinander abziehen "B"-Gerade minus "A"-Gerade und verlangen, dass \(5 = \vec B_y + \lambda\cdot \vec{BS}_y - (\vec A_y+\mu \vec{AS}_y)\) dabei zeigt der Index \(y\) an, dass man nur die \(y\)-Komponente des entsprechenden Vektors nimmt (also den zweiten Eintrag von oben). Da, wie schon gesagt, alles schön, symmetrisch und ordentlich ist dürfen wir in dieser Gleichung sogar \(\mu= \lambda\) verlangen. Die Gleichung lösen wir dann nach \(\mu\) und setzen dies in eine der beiden verwendeten Geradengleichungen ein. Dort lesen wir die dritte Komponente des Ergebnisses aus, dies ist die Höhe über dem Boden.

Viele Grüße und gerne Fragen,

MoNil

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
m
monil verified
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erst ein mal Vielen dank für deine Hilfe! und zwar komme ich bei der 14 a.) nicht weiter, wenn es um die Schnittpunktsberechnung geht. Ich wäre sehr dankbar, wenn du weiterhelfen könntest!   -   sese34, vor 2 Wochen, 2 Tage

Einfach die beiden Geraden gleichsetzen und die Parameter bestimmen:
\(\left(\matrix{-7\\-3\\-8}\right)+\lambda\cdot\left(\matrix{5\\3\\-1}\right) = \left(\matrix{4\\-6\\-6}\right)+\mu\cdot\left(\matrix{3\\5\\-2}\right)\). Das gibt Dir jetzt drei Gleichungen (jede Zeile ist eine) und Du hast zwei unbekannte \(\lambda,\ \mu\) nach denen du auflösen musst. Ist das klarer?
  -   monil, verified vor 2 Wochen, 2 Tage
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(15a) Zunächst musst du anhand der gegebenen Maße die Koordinaten der Punkte A,B,C,D und S bestimmen. A scheint im Koordinatenursprung zu liegen wäre also (0,0,0). Jetzt kannst du die Geraden der Kanten aufstellen, in dem du immer die 2 Punkte A und S, B und S, C und S, D und S nimmst, einen davon als Stützvektor benutzt, dann den Richtungsvektor zwischen den beiden Punkten berechnest. (b) Der Punkt P liegt auf der Gerade zwischen B und S und hat die Höhe 10m. Also suchst du einen Punkt P = (x,y,10) mit unbekanntem x und y. Die beiden Werte für x und y kannst du aber über die Geradengleichung berechnen. Du schaust, welchen Wert dein Parameter in der Gleichung annehmen muss, damit bei der z-Koordinate der Wert 10 rauskommt. Mit diesem Wert für deinen Parameter kannst du die anderen beiden Koordinaten berechnen. (c) Vektor zwischen A und P aufstellen und den Winkel bezüglich des Vektors AB berechnen. Anschließend mit diesem Winkel einen Vektor berechnen der den Weg von P nach Q beschreibt. Mit diesem Richtungsvektor und dem Punkt P kann man wiederum eine Gerade aufstellen. Der Schnittpunkt dieser Gerade mit der Seite CS (wo du ja zuvor in (a) die Gleichung aufgestellt hast) liefert dir den Punkt Q. Den Punkt in 15m Höhe berechnest du analog dazu, wie du den Punkt P berechnet hast, nur dass der Punkt in 15m Höhe auf der Gerade PQ liegen soll.
geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
El_Stefano verified
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