M.Sc., Punkte: 6.68K
Hallo,
Ich mache erst einmal die 14. Die 15 hänge ich dann hier dran... das Tippen dauert halt nur....
Für die 14a) Stellen wir doch einfach mal die Geradengleichungen auf, die die Stollen beschreiben:
Kuckucksloch: \(k:\vec X=\vec A+\lambda \cdot \vec{AB} = \left(\matrix{-7\\-3\\-8}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{5\\3\\-1}\right)\) und
Morgenstern: \(m:\vec X = \vec C+\mu \cdot \vec{CD} = \left(\matrix{4\\-6\\-6}\right)+\mu\cdot \left(\matrix{3\\5\\-2}\right)\).
Jetzt musst Du nur überprüfen, ob die beiden Geraden sich schneiden (wenn Du dazu Hilfe brauchst, lass einen Kommentar da).
14b) Nach der a) ist der Punkt \(S\) bekannt.Dazu berechne erst einmal die Länge des Vektors \(\vec{AS}\) und daraus die Länge vom Kuckucksloch in m: \(L_{Kuckucksloch} = |\vec{AS}|\cdot 100\,\text{m}\). Berechne dann die zu bohrende Streckenlänge im Morgenstern wie folgt \(L_{Morgenstern}=|\vec{CS}|\cdot 100\,\text{m}\). Jetzt berechne die Zahl Tage, die es dauern wird in Kuckucksloch bei S rauszukommen: \(L_{Kuckucksloch}:5=\text{Tage}_{Kuckucksloch}\). Damit berechne die notwendige Bohrgeschwindigkeit für Morgenstern: \(L_{Morgenstern}:\text{Tage}_{Kuckucksloch}\).
14c) Hier stellen wir nochmal eine Geradengleichung auf. Dazu brauchen wir allerdings den Punkt \(S\) aus der a). Damit können wir den neuen Stollen wieder als Gerade beschreiben: \(g:\vec X = \left(\matrix{s_1\\s_2\\s_3}\right) + \lambda\cdot \left(\matrix{2\\1\\2}\right)\). Im Text steht, dass die Erdoberfläche die \(x-y-\)Ebene ist. D.h. der Punkt den wir suchen wird \(z=0\) haben müssen. M.a.W. Du musst folgende Gleichung nach \(\lambda\) auflösen: \(s_3+2\lambda=0\) (\(s_3\) ist ja aus der a) bekannt). Die Lösung von \(\lambda\) setzt du dann in die Geradengleichung von \(g\) ein und bekommst den gesuchten Punkt.
Fortsetzung:
zur 15:
a) Zunächst einmal sehen wir, dass A im Koordinatenursprung liegt, d.h. \(A\left(0\,|\,0\,|\,0\right)\). Aufgrund der gegebenen Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ergeben sich weiter: \(B\left(0\,|\,100\,|\,0\right),\ C\left(-100\,|\,100\,|\,0\right),\ D\left(-100\,|\,0\,|\,0\right)\). Aus der gegebenen Höhe von 40 lässt sich sagen, dass \(S\left(-50\,|\,50\,|\,40\right)\).
Die Geraden der Kanten sind nun (die konkreten Zahlen darfst Du einsetzen ;-) )
1. \(\vec X = \vec A + \lambda\cdot \vec{AS}\)
2. \(\vec X = \vec B + \lambda\cdot \vec{BS}\)
3. \(\vec X = \vec C + \lambda\cdot \vec{CS}\)
4. \(\vec X = \vec D + \lambda\cdot \vec{DS}\)
Teil b) Um P zu bekommen, nehmen wir die 2. Gerade aus der a). Wir wissen aus der Angabe, dass P 10m über dem Boden ist, d.h. die \(z-\)Koordinate \(=10\). Wir suchen also die Werte für \(x,\ y\) in: \(P\left(x\,|\,y\,|\,10\right)\). Mit Hilfe dritten Koordinate bestimmen wir das richtige \(\lambda\) indem wir diese Gleichung lösen: \(0+\lambda\cdot 40 = 10\), also \(\lambda=\frac{1}{4}\). Wenn wir dieses \(\lambda\) in Gerade 2 einsetzen kriegen wir den Punkt P: \(\vec P = \left(\matrix{0\\100\\0}\right)+\frac{1}{4}\cdot\left(\matrix{-50\\-50\\40}\right)=\left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)\)
später gehts weiter ...
Fortsetzung 2:
c) Um das Maß der Steigung der Verbindung zu bestimmen stellen wir die Gerade von A nach P auf: \(\vec X = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)\). Jetzt wollen wir von P aus im Grunde die gleiche Steigung weiter wandern, d.h. wir könnten denselben Richtungsvektor nehmen ABER wir wollen ja nicht in y-Richtung weiter sondern in -x Richung. Modifizieren wir also den Richtungsvektor diesbezüglich: das was wir bisher nach rechts gingen, also \(87,5\) wollen wir jetzt nach hinten (d.h. es wird zu \(-87,5\) in x-Richtung) und was zunächst nach hinten (negative x-Richtung) ging, soll nun nach links (negative y-Richtung). Oben bleibt gleich, d.h. die Gerade von P nach Q (den wir noch nicht kennen) kann wie folgt beschrieben werden:
\(\vec X=\vec P + \lambda\cdot\left(\matrix{-87,5\\-12,5\\10}\right)\). Um nun Q zu finden, schneide Gerade 3 (s.o.) mit dieser. Wann die Höhe von 15m erreicht wird, kann genauso wie bei P bestimmt werden: Aus der dritten Zeile in: \(\left(\matrix{-12,5\\87,5\\10}\right)+\lambda\cdot \left(\matrix{-87,5\\-12,5\\10}\right)=\left(\matrix{x\\y\\15}\right) \lambda\) bestimmen \(\Rightarrow \lambda=\frac{1}{2}\), dann \(x,\ y\) ausrechen.
Teil d) Dafür jede der Geraden 1 bis 4 mit \(\left(\matrix{x\\y\\20}\right)\) gleichsetzen und jeweils \(x,\ y\) bestimmen. Bestimme die Höhe so, dass das Grundflächen-Quadrat der Schnittpyramide 25\(\text{m}^2\) hat. MaW Jede Seite ist genau \(5\) lang (Quadrat...) Hier genügt es zwei der Kantengeraden zu nehmen die benachbart sind, zb die Gerade von A nach S und dazu die von B nach S. Hier ist die gesuchte Seitenbreite in der y-Richtung. Da alles hier symmetrisch ist und der Boden der Pyramide brav in der x-y-Ebene liegt, können wir also die y-Komponenten beider Geraden nehmen und voneinander abziehen "B"-Gerade minus "A"-Gerade und verlangen, dass \(5 = \vec B_y + \lambda\cdot \vec{BS}_y - (\vec A_y+\mu \vec{AS}_y)\) dabei zeigt der Index \(y\) an, dass man nur die \(y\)-Komponente des entsprechenden Vektors nimmt (also den zweiten Eintrag von oben). Da, wie schon gesagt, alles schön, symmetrisch und ordentlich ist dürfen wir in dieser Gleichung sogar \(\mu= \lambda\) verlangen. Die Gleichung lösen wir dann nach \(\mu\) und setzen dies in eine der beiden verwendeten Geradengleichungen ein. Dort lesen wir die dritte Komponente des Ergebnisses aus, dies ist die Höhe über dem Boden.
Viele Grüße und gerne Fragen,
MoNil