Wie berechne ich hier a und das Vektorprodukt, sodass der Betrag passt?

Aufrufe: 149     Aktiv: vor 4 Monate, 2 Wochen

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Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, da ich für a den Wert -0,5 herausbekommen. Wenn ich diesen Wert jedoch einsetzte und das vektorprdoukt anhand des Kreuzproduktes ermittle, kommt ein vektor heraus der nicht, wenn man ihn nnoch berechnet, den vorgegeben Betrag hat.

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
j
julewarnke,
Punkte: 30

 
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2 Antworten
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Hallo,

ich habe was anderes heraus. Machen wir es Schritt für Schritt:

Rechne zuerst allgemein das Vektorprodukt

$$ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

welchen Vektor bekommst du dabei heraus?

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
christian_strack verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 23.81K
 
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Die zu lösende Gleichung lautet also:

\( \left| \left(\begin{array}{c} a \\ 1 \\ a \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \left| \left(\begin{array}{c} 1-a \\ 0 \\ a-1 \end{array}\right) \right| = 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{(1-a)^2 + (a-1)^2} = 2\sqrt{2} \)

Nun gilt: \((1-a)^2 = (a-1)^2 \). Also folgt daraus:

\( \sqrt{(1-a)^2 + (a-1)^2} = \sqrt{2(1-a)^2} = \sqrt{2}(1-a) \)

Damit ist die Gleichung ganz einfach zu lösen.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
a
aerix
Student, Punkte: 130
 

leider verstehe ich nicht genau wie ich die Gleichung jetzt genau auflösen soll. Kommt denn als Ergebnis der Gleichung a raus?
Wäre mega lieb wenn Sie mir noch einmal helfen :/

  -   julewarnke, vor 4 Monate, 2 Wochen

also ich weiß jetzt das a 3 ist aber ich kann es nicht auflösen

  -   julewarnke, vor 4 Monate, 2 Wochen

( \sqrt{2}(1-a) = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow 1-a=2 \Leftrightarrow a = -1)

  -   aerix, vor 4 Monate, 2 Wochen

vielen dank!!!

  -   julewarnke, vor 4 Monate, 2 Wochen

Es gibt tatsächlich 2 Lösungen:
Beim lösen der Gleichung wäre es eigentlich so richtig
$$ \sqrt{2(1-a)^2} = \sqrt{2} |1-a| = \sqrt{2} \cdot (\pm (1-a) ) $$

Nun können wir 2 Fälle betrachten:
und würden folgendermaßen rechnen:
$$ \sqrt{2} (1-a) = \sqrt{2} \cdot 2 $$
wir teilen beide Seiten durch ( \sqrt{2} )
$$ \Rightarrow (1-a) = 2 $$
und addieren a und subtrahieren ( 2 ) und erhalten
$$ a = -1 $$

Oder
$$ \sqrt{2} 2 = \sqrt{2} \cdot (-(1-a)) $$
teilen wieder durch ( \sqrt{2} ) und lösen die Klammer auf
$$ 2 = a-1 $$
Nun addieren wir ( 1 ) und erhalten
$$ a= 3 $$

Beide Lösungen sind richtig.

  -   christian_strack, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Richtig vielen Dank, habe ich oben bei der Umformung übersehen.

  -   aerix, vor 4 Monate, 2 Wochen
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