Differenzierbarkeit Betragsfunktion

Aufrufe: 43     Aktiv: vor 2 Wochen, 2 Tage

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Hallo, ich bräuchte mal Hilfe:(

Quelle: Lambacher Schweizer  Einführungsphase 

Meine Idee: ich habe für je beide Funtionen j f(X0+h)-(X0)/h gerechnet  und bei beiden kam 0 raus?

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
s
sahandtarik53,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hey, Die Besonderheit an der Betragsfunktion ist der Knick an der Stelle, wo sich der Ausdruck innerhalb des Betrages von positiv zu negativ verändert. Deshalb muss man die in der Aufgabenstellung erwähnte Fallunterscheidung durchführen. Schauen wir uns den Grenzwert an, der den Differentialquotienten bildet: \( \overset{\lim}{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \) Wenn du dort jetzt deine Funktionen gemäß der Fallunterscheidung einsetzt gilt: \( \overset{\lim}{h \rightarrow 0} \frac{((1+h) -1 ) - (1-1)}{h} = \overset{\lim}{h \rightarrow 0} \frac{h}{h} = 1 \) Gleixhes Vorgehen für den anderen Fall führt zu -1. Demzufolge ist -1 nicht gleicht 1 womit der beidseitige Grenzwert nicht existiert und folglich keine Differenzierbarkeit im Punkt (1,0) vorliegt. Anschaulich ist das auch klar, da hier der Knick liegt und wenn du die Tangenten genau einzeichnest, siehst du im Bereich kleiner als 1 die fallende Tangente und im Bereich größer als 1 die steigende Tangente.
geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
El_Stefano verified
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Hey könntest du bitte bitte schrittweise schreiben wie du auf -1 kommst bei der anderen Funktion? Danke dir   -   sahandtarik53, vor 2 Wochen, 2 Tage

\( \underset{\lim}{h \rightarrow 0} \frac{(-(1+h) + 1 ) - (-1 + 1)}{h} = \underset{\lim}{h \rightarrow 0} \frac{-h}{h} = -1 \)   -   El_Stefano, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Wieso wird das erste Minus vor der klammer geschrieben und im 2. Teil in der klammer, bei (-1+1)?   -   sahandtarik53, vor 2 Wochen, 2 Tage

Weil du dort bei der Fallunterscheidung f(x) = -x + 1 hast. Wenn du dann x = 1 + h einsetzt dann hast du f(1+h) = -(1+h) + 1   -   El_Stefano, verified vor 2 Wochen, 2 Tage

Mathematisch sauber muss natürlich im 2. Fall erwähnt werden, dass h < 0 ist. Ändert allerdings nichts an der Argumentation und dem Ergebnis.   -   El_Stefano, verified vor 2 Wochen, 2 Tage
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