Memory Erwartungswert

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Fragestellung: Beim Memory liegen noch 4 Pärchen (also 8 Karten) verdeckt auf dem Tisch. Kati deckt eine Karte auf. Wie viele Karten muss sie im Durchschnitt noch aufdecken, bis sie die passende aus den verbleibenden sieben Karten zieht, wenn sie die Verteilung der Karten nicht kennt und keine Karte zweimal aufdeckt ?

Gefundene Lösung:

Die erste Karte, die aufgedeckt wird, bestimmt das passende Gegenstück. Bezeichnen wir das Bild darauf mit X, dann wird das andere zweite X gesucht, alle anderen Karten sind dann O (Niete, oder Null). Die Wahrscheinlichkeit für das Aufdecken der ersten Karte beträgt natürlich 100% (also P(X) = 1). Das tönt trivial, ist aber wichtig. Nachdem X aufgedeckt wird, liegen noch 7 verdeckte Karten auf dem Tisch. Davon ist eine Karte die Richtige. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit im nächsten Zug (also Zug 1) das andere X - also P(XX) - auf zu decken: 1 * 1/7 = 1/7. Wird kein X gezogen, dann gibt es eine Niete (O), also P(XO) = 1 * 6/7 = 1-P(XX) = 6/7, und der 2. Zug kommt dran. Es liegen jetzt noch 6 verdeckte Karten mit darunter 1 Richtige. Somit P(XOX) = 1 * 6/7 * 1/6 = 1/7. So geht das weiter bis alle Möglichkeiten bzw. Kombinationen erschöpft sind.

 

Anzahl Züge - Kombination - Wahrscheinlichkeit

.....1..............XX....................1 * 1/7 = 1/7

.....2..............XOX..................1 * 6/7 * 1/6 = 1/7

.....3..............XOOX...............1 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7

usw.

.....7..............XOOOOOOX.....1 * 6/7 * 5/6 * 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 * 1 = 1/7

 

Verstehe ich bis hier alles aber verstehe dann im folgenden nicht wie man auf die Zahl vor der Wahrscheinlichkeit kommt:

 

E = 11/7 + 21/7 +…..+ 7*1/7 = 28/7 = 4

 

Also die Lösung ist dann durchschnittlich 4 mal ziehen aber kann mir jemand das mit dem Erwartungswert genauer erklären? Möchte es einfach verstehen Lösung habe ich ja

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
p
ponuli,
Schüler, Punkte: 12
 
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1 Antwort
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Der Erwartungswert einer Zufallsgröße \(Z\), die genau die Werte \(z_1,\ldots,z_n\) annehmen kann, ist ja definiert als \(E(Z)=z_1P(Z=z_1)+\ldots+z_nP(Z=z_n).\)

Hier wollen wir den Erwartungswert der Zufallsgröße \(Y:\) "Anzahl der gezogenen Karten bis zur passenden Karte" berechnen. Diese kann die Werte von 1 bis 7 annehmen. Der Erwartungswert ist also \(1\cdot P(Y=1)+2\cdot P(Y=2)+\ldots+7\cdot P(Y=7)\). Diese Wahrscheinlichkeiten wurden ja berechnet und sind alle \(\frac17\). Setzt du das nun noch ein, kommst du auf den Term, der in der Lösung steht.

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 

Danke!   -   ponuli, vor 2 Wochen, 2 Tage
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