Grenzwert einer Folge

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Ich beiße mir bei der Bestimmung des Grenzwerts dieser Folge seit längerem die Zähne aus. Meine Vermutung ist, dass sie gegen 0 konvergiert. Für einen Schubs in die richtige Richtung wäre ich bereits sehr dankbar.

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
f
flocke93,
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2 Antworten
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Zunächst stellen wir fest, dass \(0<b_n<\frac{n^2+\sqrt{7^n}}{3^n}=\frac{n^2}{3^n}+\frac{\sqrt{7^n}}{3^n}.\)

Jetzt betrachten wir jeden Summanden einzeln:

Mit vollständiger Induktion kann man zeigen, dass für \(n>4\) gilt, dass \(n^2<2^n\). Foglich ist \(\frac{n^2}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac{2}3\right)^n\xrightarrow{n\to\infty}0.\)

Für den zweiten Summanden gilt \(\frac{\sqrt 7^n}{3^n}=\left(\frac{\sqrt 7}3\right)^n\xrightarrow{n\to\infty}0\), da \(\sqrt7<3\) und somit \(\frac{\sqrt 7}3<1.\)

Nehmen wir von der allerersten Ungleichung den Grenzwert, erhalten wir also

\(0\leq\lim_{n\to\infty}b_n\leq 0 + 0\) und damit \(\lim_{n\to\infty}b_n=0.\)

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 
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Teile mal durch \( 3^n \)

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
E
EricAlsmann
Punkte: 10
 
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