Zunächst stellen wir fest, dass \(0<b_n<\frac{n^2+\sqrt{7^n}}{3^n}=\frac{n^2}{3^n}+\frac{\sqrt{7^n}}{3^n}.\)

Jetzt betrachten wir jeden Summanden einzeln:

Mit vollständiger Induktion kann man zeigen, dass für \(n>4\) gilt, dass \(n^2<2^n\). Foglich ist \(\frac{n^2}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}=\left(\frac{2}3\right)^n\xrightarrow{n\to\infty}0.\)

Für den zweiten Summanden gilt \(\frac{\sqrt 7^n}{3^n}=\left(\frac{\sqrt 7}3\right)^n\xrightarrow{n\to\infty}0\), da \(\sqrt7<3\) und somit \(\frac{\sqrt 7}3<1.\)

Nehmen wir von der allerersten Ungleichung den Grenzwert, erhalten wir also

\(0\leq\lim_{n\to\infty}b_n\leq 0 + 0\) und damit \(\lim_{n\to\infty}b_n=0.\)

Teile mal durch \( 3^n \)