Schnellste Wachstumsgeschwindigkeit bei Exponentialfunktionen

Aufrufe: 159     Aktiv: vor 4 Monate, 2 Wochen

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Hallo,

ich soll bei der Funktion f(t)=296 \( \cdot e^{0,17 \cdot t} \) im Intervall [0; 15] den Punkt bestimmen, an dem der zugehörige Graph am schnellsten steigt. Um den zu finden, soll man ja zweimal ableiten und dann =0 setzen bzw. nach t auflösen. Die zweite Ableitung lautet laut meiner Rechnung f(t)=8,55 \( \cdot e^{0,17 \cdot t} \) aber ich weiß nicht wie ich da nach t auflösen soll.

Schonmal Danke für Hilfe im voraus!

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
j
jss-00,
Schüler, Punkte: 12

 
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1 Antwort
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Hallo,

hm bist Du sicher, dass die Funktion richtig ist? So wie sie dasteht lautet die Antwort nämlich (ohne große Rechnung) bei \(t=15\). Der Punkt ist: die gegebene Funktion \(f(t)=296\cdot e^{0,17t}\) ist (streng) monoton wachsend genauso ist das ihre Ableitung und die zweite Ableitung ebenso (das ableiten ändert ja nur den konstanten Vorfaktor). Der Tipp: zweimal ableiten und Nullstelle suchen ergibt in sofern Sinn, dass Du ein Extremum der ersten Ableitung suchst (d.h. ein Extremum der Steigung). ABER \(k\cdot e^{ct}>0\) für beliebige \(t\), egal welche Zahlenwerte die Konstanten \(k\) und \(c\) annehmen (ausgenommen \(k=0\)), \(f'\) hat damit kein Extremum, wird aber immer größer, je größer \(t\) ist. \(\Rightarrow t=15\) und der Punkt lautet \(\left(15\,|\,f(15)\right)=\left(15\,|\,3\,790,9...\right)\)...

Hoffe das hilft, und ich hab da nix übersehen,

Viele Grüße,

MoNil

P.S. Allgemein löst man Gleichungen mit e-Funktion die etwa so aussehen mit dem natürlichen Logarithmus:

\(e^x=k \ \ | \ln\)

\(\ln(e^x) = \ln(k)\)

\(x=\ln(k)\). Dies funktioniert allerdings ausschließlich für Zahlen \(k>0\)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
monil verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.19K
 

Das mit der Monotonie hab ich verstanden, danke, aber gibt es noch andere Wege, um den Punkt mit dem schnellsten Wachstum rauszufinden?

  -   jss-00, vor 4 Monate, 2 Wochen

Hm, naja generell beschreibt die 1. Ableitung ja die Steigung, also den Zuwachs, d.h. wenn Du den höchsten Wert herausfindest, den die Ableitung über einem Intervall annimmt, dann hast Du was Du suchst.

  -   monil, verified vor 4 Monate, 2 Wochen
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