LGS lösen, mit Parameter Lambda

Aufrufe: 1810     Aktiv: 25.03.2020 um 22:48
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Hallo, 

habe folgendes Gleichungssystem (bereits in der erweiterten Koeffizientenmatrix): 

\((i)\) Für welches \(\lambda\in\mathbb{R}\) besitzt das Gleichungssystem eine reelle Lösung? Wie viele Lösungen gibt es dann jeweils?

\(\begin{pmatrix}2&-2&\lambda&& 3\\4&6&-3&&-2\\10&-10&13&&0 \end{pmatrix} \)

Nach Umformung der Zeilen, sieht die Matrix so aus:

\(\begin{pmatrix}2&-2&\lambda&& 3\\0&10&-3-2\lambda&&-8\\0&0&13-5\lambda&&-15 \end{pmatrix} \)

Dann hab ich \(\lambda\) ausgerechnet: 

\(13-5\lambda = -15 \\\lambda = -\frac{2}{5}\)

\(\mathbb{L}=\{(\frac{28}{25}, \frac{29}{50}, -\frac{2}{5}\lambda)|\lambda\in\mathbb{R}\}\)

Stimmt das so? Dann gibt es insgesamt 3 Lösungen?

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Student, Punkte: 96

 
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Die Zeilen hast du richtig umgeformt, soweit schon mal gut. Nun hast du aber einen kleinen Denkfehler drin: 

Schreiben wir das wieder als Gleichungssystem mit Variablen \(x_1,x_2,x_3\), lautet die letzte Zeile ja \((13-5\lambda)x_3=-15.\)

Ist nun die Klammer vor dem \(x_3\) gleich 0, also ist \(13-5\lambda=0\Longrightarrow\lambda=\frac{13}5\), dann hat das Gleichungssystem keine Lösung, denn dann steht \(0=-15\) da, was offensichtlich keine Lösung hat. Für alle anderen Werte für \(\lambda\) können wir nach \(x_3\) auflösen: \(x_3=\frac{-15}{13-5\lambda}\).

Diesen Wert setzen wir nun in die zweite Zeile ein:

\(10x_2+(-3-2\lambda)\cdot\frac{-15}{13-5\lambda}=-8\Longrightarrow x_2=\frac1{10}\left(8-\frac{30\lambda+45}{13-5\lambda}\right)\)

Jetzt kannst du \(x_2,x_3\) noch in die erste Gleichung einsetzen und erhälst einen Wert für \(x_1\).

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Dann ist \(x_1\): \(\left(\frac{3}{-\frac{(15 λ)}{(13 - 5 λ)} + \frac{1}{5} (-8 + \frac{(45 + 3) λ)}{(13 - 5 λ)}}\right), \)   ─   mathematikmachtspaß 25.03.2020 um 18:18
Wie kommst du darauf? Es gilt ja \(2x_1-2x_2+\lambda x_3=3\Longrightarrow x_1=\frac12(3+2x_2-\lambda x_3)\). Setzen wir jetzt die berechneten Werte ein, erhält man zumindest erstmal ein anderes Ergebnis als du. Vielleicht hast du das irgendwie seltsam umgestellt, aber dein Ergebnis scheint mir seltsam.   ─   sterecht 25.03.2020 um 18:22
Für \(\lambda=\frac{13}5\) gibt es keine Lösung, sonst genau eine, nämlich das Tripel \((x_1,x_2,x_3)\) mit den Werten, die wir ausgerechnet haben.   ─   sterecht 25.03.2020 um 18:24
Ich habe: \(-2*x_2+\lambda*x_3\) ausgerechnet und dann \(3\) durch das Ergebnis gerechnet.   ─   mathematikmachtspaß 25.03.2020 um 18:26
Ich rechne nochmal mit deiner Umstellung.   ─   mathematikmachtspaß 25.03.2020 um 18:27
Jetzt hab das als Ergebnis: \(\frac{1}{2} (3 + \frac{15 λ}{13 - 5 λ} + \frac{1}{5} (8 - \frac{45 + 30 λ}{13 - 5 λ})\)   ─   mathematikmachtspaß 25.03.2020 um 18:44
Ja, das ist besser.   ─   sterecht 25.03.2020 um 20:17
Passt, danke!   ─   mathematikmachtspaß 25.03.2020 um 22:48

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