Stetige Differenzierbarkeit, Lösung

Aufrufe: 252     Aktiv: vor 4 Monate, 2 Wochen

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Hallo Leute, 

Ich verstehe das Gelb markierte der Lösung nicht. Was ist dieses Teil "w", welches wie der  Buchstabe "w" aussieht? Und woher kommt das "w=kπ+π/4" und das andere ganze Zeug...  Könnte mir das jemand erklären?? 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
k
kamil,
Student, Punkte: 289

 
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1 Antwort
1

Hi.
Also der Buchstabe \( \omega \) heißt Omega.

Eine Funktion ist stetig diff'bar, falls die Ableitung überall existiert und diese stetig ist. Die Funktion \( f\) ist auch offensichtlich auf \( [0,2] \setminus \left\{ 1 \right\} \) stetig diff'bar.
Das heißt man muss nur den Punkt \( x_0 =1 \) überprüfen.

Dazu muss zunächst \( f \) bei \( x_0 =1 \) stetig seien. Man überprüft dazu, dass der rechtsseitige Grenzwert dem linksseitigen Grenzwert entspricht, daher kommt die Gleichung \( A \sin (\omega ) =1 \) .

Dann muss man noch prüfen, dass die Ableitung stetig ist. Dh. man leitet \(f \) einmal auf \( [0,1] \) und auf \( [1,2] \) ab, und überprüft, dass diese an der Stelle \( x_0 =1 \) übereinstimmen, daher die zweite Gleichung \( \omega A \cos (\omega ) = \omega \)

Und jetzt löst man diese Gleichungssystem.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
a
anonym42
Student, Punkte: 180
 

Und wie löst man das Gleichungssystem??

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Teilt man die erste Gleichung durch die zweite, erhält man (\tan(\omega)=1), was genau bei (\frac\pi4,\frac{5\pi}4,...) also bei (\frac\pi 4+k\pi) passiert.
Nun soll (\omega\in[0,2]) sein. Damit muss (k=0) gelten, denn für (k=\pm1) ist man bereits außerhalb dieses Intervalls.
Nun setzen wir (\omega=\frac\pi4) in die erste Gleichung ein. Es ist (\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}), darüber ergibt sich (A=\sqrt2).

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Ich teile ((Asin(w)=1)/(wAcos(w)=w)). Wie komme ich denn da auf tan(w)=1 ?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Na ja, du hast (\frac{A\sin(\omega)}{\omega A\cos(\omega)}=\frac1\omega.) Das (A) und das (\frac1\omega) kürzen sich jeweils weg, sodass (1=\frac{\sin\omega}{\cos\omega}=\tan\omega) stehen bleibt.

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Oben habe ich ein "A" und unten, das verstehe ich. Aber wieso 1/w kürzen? Ich habe es doch nur auf der rechten Seite ..Meinst du vielleicht "auf beiden Seiten mit "w" erweitern, dann geht das auf?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Ja, das war vielleicht unklar ausgedrückt. Auf jeden Fall kommst du so auf (\tan\omega=1.)

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Ja ok. In meiner Tabelle steht auch, dass der Tan(¶/4)=1 ist. Aber von wo weißt man, dass 5pi\4 auch 1 ist usw. ? Und wie kommt man darauf, dass man die Gleichungen teilen soll, ich wäre ja da drauf nie gekommen

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Der Tangens hat eine Periode von (\pi), deshalb müssen (\frac{5\pi}4) etc. auch die Gleichung erfüllen. Man muss die Gleichungen nicht durcheinander teilen. Du kannst auch z.B. eine der Gleichungen nach (A) auflösen und das dann in die andere einsetzen. Teilen ist bloß der schnellste Weg, sowas sieht man mit viel Übung.

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Und ist denn (cos/sin) auch tan?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Für A hätte ich dann (1=Asqrt(2)/2) <=> (2=Asqrt(2)) <=> (A=2/sqrt(2)) Und was ist das in der Lösung, von wo das ((-1)^k)?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

(\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x), der sog. Cotangens. Aber wenn (\frac{\cos \omega}{\sin\omega}=1), dann ist auch (\frac{\sin\omega}{\cos \omega}=1.)

(\frac2{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}2=\sqrt2), also bekommst du auch das richtige (A) raus.

Das ((-1)^k) kommt daher, dass die Lösung nicht zuerst (so wie ich in meiner Antwort) (\omega) durch das Intervall bestimmt hat. Und (\sin(\frac\pi4+k\pi)=-\frac{\sqrt2}2), falls (k) ungerade.

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Also ist beides 1, tan und cot x, für x= pi/4.
Und was ist das Asin(ω) = 1 ⇒ A(−1)k/√2 = 1 ⇒ A = (−1)k√2 ?
Was ist nach dem ersten Pfeil passietr?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Wenn (\omega=\frac\pi4+k\pi,) dann ist (\sin\omega=(-1)^k\cdot\frac1{\sqrt2}). Für (\frac\pi4) kennst du den Wert ja, und jedes Mal, wenn man (\pi), also eine halbe Periode, addiert, ändert sich das Vorzeichen. Für ungerade (k) ist der Sinus also negativ, für gerade positiv. Daher das ((-1)^k).
Das kannst du dir aber eigentlich sparen, wenn du zuerst überlegst, welches (\omega) das richtige ist.

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Ich verstehe das erste nicht, muss ich es? Omega ist ja gegeben. Und wenn ich Sinus von Omega bilde, habe ich sin(pi/4+kpi). Für pi/4 kenne ich den Wert in der Tat. Das ist dann sin(2/sqrt(2)+kpi).

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Wenn k ungerade ist, dann ist (\sin\omega=-\frac{\sqrt2}2), wenn k gerade ist, dann (\sin\omega=\frac{\sqrt2}2.) Das ergibt sich aus der Periodizität des Sinus. (Das habe ich oben zu erklären versucht.)

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Das verstehe ich. Die -1 ist klar. Aber wieso das *1/sqrt(2) ?

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

(\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2) (Erweitern mit (\sqrt2)). Das ist der Wert von (\sin\frac\pi4).

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Asoo… und wieso schreibt man nicht gleich (-1)^k*sqrt(2)/2.. das mit dem Erweitern verwirrt nur.
Und wie kommt man auf das letzte => A = (−1)k√2 ? A ist doch Wurzel aus 2.. D:

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen

Vielleicht fand der, der die Lösung erstellt hat, dass (\frac1{\sqrt2}) die schönere Form ist, also dass man es gar nicht umwandeln sollte.

Die Lösung findet den Wert für A, bevor sie überlegt was k sein muss. Deshalb taucht das k noch im Term für A auf, verschwindet dann aber im nächsten Schritt.

  -   sterecht, verified vor 4 Monate, 2 Wochen

Klarer !
Danke für die Mühe Bro !

  -   kamil, vor 4 Monate, 2 Wochen
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