Hallo,
schreibt Dir zur Lösung des Aufgabe doch einfach mal alle Volumen/Oberflächenformeln hin:
\(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3\)
\(V_{\text{Zylinder}}=G_{\text{Kreisfläche}}\cdot h_{\text{Zylinder}} =\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Zylinder}}\)
\(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot G_{\text{Kreisfläche}}\cdot h_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Kegel}}\)
Die Annahme bei Teil a) ist jetzt, dass (1) \(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Zylinder}}\) und (2) \(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Kegel}}\). Jetzt müssen wir nur noch einsetzen und nach dem entsprechenden \(h\) umstellen:
(1) \(\frac{4}{3}\pi\cdot r^3 = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Zylinder}} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\cdot r = h_{\text{Zylinder}}\)
(2) \(\frac{4}{3}\pi\cdot r^3=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Kegel}}\Leftrightarrow 4\pi\cdot r=h_{\text{Kegel}}\).
In (1) und (2) kannst Du jetzt Deinen bekannten Wert für den Radius einsetzen und jew. die Höhe berechnen. Analog geht das mit den Oberflächen:
\(O_{\text{Kugel}}=4\pi \cdot r^2\)
\(O_{\text{Zylinder}}=2\pi\cdot r\cdot (r+h_{\text{Zylinder}}) \) gleichsetzen liefert: \(r=h_{\text{Zylinder}}\)
und schließlich für den Zylinder: \(O_{\text{Kegel}}=G_{\text{Kreisfläche}}+\pi\cdot r\cdot h_{s}=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot h_s\) erhalten wir
\(4\pi\cdot r^2=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot h_s\Leftrightarrow 3\cdot r=h_s\). Hier ist allerdings Vorsicht geboten, denn beim Kegel haben wir mit \(h_s\) sie Seitenhöhe, nicht die Höhe selbst, d.h. wir müssen die noch "umrechnen": \(h_s=\sqrt{r^2+h_{\text{Kegel}}^2}\) (Pythagoras), d.h.
\(3\cdot r = \sqrt{r^2+h_{\text{Kegel}}^2}\Leftrightarrow 9\cdot r^2-r^2=h_{\text{Kegel}}^2\Leftrightarrow h_{\text{Kegel}}=\sqrt{8}\cdot r\).
Hoffe das beantwortet Deine Frage,
Viele Grüße,
MoNil
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.22K