Volumen und Oberflächeninhalt von Kugel, Zylinder und Kegel

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Eine Kugel, ein Zylinder und ein Kegel haben den selben Radius r. Bestimme die Höhe des Zylinders und des Kegels so, dass alle drei Körper:

a) das gleiche Volumen haben

b) den gleichen Oberflächeninhalt haben

 

Vielen Dank im Voraus

 

gefragt vor 1 Woche
p
pascal_hdr,
Schüler, Punkte: 12
 
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3 Antworten
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Hallo,

schreibt Dir zur Lösung des Aufgabe doch einfach mal alle Volumen/Oberflächenformeln hin:

\(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi\cdot r^3\)

\(V_{\text{Zylinder}}=G_{\text{Kreisfläche}}\cdot h_{\text{Zylinder}} =\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Zylinder}}\)

\(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot G_{\text{Kreisfläche}}\cdot h_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Kegel}}\)

Die Annahme bei Teil a) ist jetzt, dass (1) \(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Zylinder}}\) und (2) \(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Kegel}}\). Jetzt müssen wir nur noch einsetzen und nach dem entsprechenden \(h\) umstellen:

(1) \(\frac{4}{3}\pi\cdot r^3 = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{Zylinder}} \Leftrightarrow \frac{4}{3}\cdot r = h_{\text{Zylinder}}\)

(2) \(\frac{4}{3}\pi\cdot r^3=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_{\text{Kegel}}\Leftrightarrow 4\pi\cdot r=h_{\text{Kegel}}\).

In (1) und (2) kannst Du jetzt Deinen bekannten Wert für den Radius einsetzen und jew. die Höhe berechnen. Analog geht das mit den Oberflächen:

\(O_{\text{Kugel}}=4\pi \cdot r^2\)

\(O_{\text{Zylinder}}=2\pi\cdot r\cdot (r+h_{\text{Zylinder}}) \) gleichsetzen liefert: \(r=h_{\text{Zylinder}}\)

und schließlich für den Zylinder: \(O_{\text{Kegel}}=G_{\text{Kreisfläche}}+\pi\cdot r\cdot h_{s}=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot h_s\) erhalten wir

\(4\pi\cdot r^2=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot h_s\Leftrightarrow 3\cdot r=h_s\). Hier ist allerdings Vorsicht geboten, denn beim Kegel haben wir mit \(h_s\) sie Seitenhöhe, nicht die Höhe selbst, d.h. wir müssen die noch "umrechnen": \(h_s=\sqrt{r^2+h_{\text{Kegel}}^2}\) (Pythagoras), d.h.

\(3\cdot r = \sqrt{r^2+h_{\text{Kegel}}^2}\Leftrightarrow 9\cdot r^2-r^2=h_{\text{Kegel}}^2\Leftrightarrow h_{\text{Kegel}}=\sqrt{8}\cdot r\).

Hoffe das beantwortet Deine Frage,

Viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 1 Woche
m
monil, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1K
 

Vielen Dank. Ich hab den Fehler gemacht und hab die Kugel mit dem Kegel und dem Zylinder zusammen gleichgesetzt und kam somit nicht auf das gewünschte Ergebnis.   -   pascal_hdr, vor 6 Tage, 23 Stunden

Ja hier sind zwei Schritte nötig damit man irgendwie zum Ziel kommt. Freut mich jedenfalls, dass es sich geklärt hat!   -   monil, verified vor 6 Tage, 21 Stunden
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Fangen wir mit der Kugel an, da ihr Volumen nur vom Radius \(r\) abhängt. \(V_{Kugel}=\frac{4}{3}r^3\pi\).

Nun setzen wir das Kugelvolumenmit dem Zyindervolumen gleich.

\(V_{Kugel}=V_{Zylinder}\)

\(\frac{4}{3}r^3\pi = r² \pi h_z\qquad|:(r^2\pi)\)

\(\frac{4}{3}r = h_z\).

Beim Kegel und den Oberflächen können wir das auf die geliche Art und Weise berechnen. Probier's einfach.

 

geantwortet vor 1 Woche
bonuama,
Student, Punkte: 285
 
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a)

Die Formeln für die Volumen sind:

\(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}*\pi*r^3\)

\(V_{\text{Zylinder}}=\pi*r^2*h_{\text{Zylinder}}\)

\(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}*\pi*r^2*h_{\text{Kegel}}\)

Wenn alle Körper das selbe Volumen haben sollen, muss gelten:

\(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Zylinder}}=V_{\text{Kegel}}\)

bzw.:

\(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Zylinder}}\)       und           \(V_{\text{Kugel}}=V_{\text{Kegel}}\)

Die beiden Glecihungen musst du lösen.

\(\frac{4}{3}*\pi* r^3=\pi *r^2 *h_{\text{Zylinder}}\)

\(\frac{4}{3}*r=h_{\text{Zylinder}}\)

und

\(\frac{4}{3}*\pi*r^3=\frac{1}{3}*\pi*r^2*h_{\text{Kegel}}\)

\(4*\pi*r^3=\pi*r^2*h_{\text{Kegel}}\)

\(4*r=h_{\text{Kegel}}\)

 

\(\Longrightarrow~~~~~~~~~~~4*r=h_{\text{Kegel}}~~~~~~~~~\text{und}~~~~~~~~~~~~\frac{4}{3}*r=h_{\text{Zylinder}}\)

Bei b) musst du genau so vorgehen, nur eben mit den Formeln für die jeweiigen Oberflächen.

geantwortet vor 1 Woche
v
vetox, verified
Student, Punkte: 685
 

Zwei Anmerkungen: Das Volumen des Zylinder ist \(V_{Zylinder} = \pi \cdot r^2\cdot h\).
Für die Eingabe des Malpunktes \(\cdot\) einfach \cdot schreiben.
  -   bonuama, vor 1 Woche

Korrekt, man sollte wohl nicht einfach Formeln von Google Bilder abschreiben :D. Und der Malpunkt stört mich nicht sonderlich, den Aufwand mach ich mir nur in seriösen LateX Dokumenten :D   -   vetox, verified vor 1 Woche
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