Anlysis

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gefragt vor 2 Wochen
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marie99,
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Hallo Marie, Du hast hier 4 verschiedene Funktionen, die sich aus den Funktionen \( f(x) = x \), \( f(x) = x^2 \), \( f(x) = e^x \) und \( f(x) = e^{-x} \) zusammensetzen. Vielleicht erstmal ein paar wesentliche Eigenschaften: Die Standardparabel \( f(x) = x^2 \) ist für alle Werte von x positiv, genau das gleiche die für die beiden Exponentialfunktionen. Ein Produkt zweier positiver Zahlen ist immer positiv. Damit kannst du den Funktionsgraphen, die nur im positiven liegen schonmal die beiden Funktionen mit \( f(x) = x^2 \) zuordnen. Demzufolge sind die Produkte mit der linearen Funktion, die für negative x Werte ja auch negative Funktionswerte annimmt, den anderen beiden Graphen zuzuordnen. So im 2. Schritt muss man jetzt diese Zuordnung verfeinern, in dem man sich das Grenzwertverhalten der Exponentialfunktionen anschaut, denn eine Exponentialfunktion dominiert im Grenzwertverhalten jede Polynomfunktion. Es gilt: \( \overset{x \rightarrow \infty}{\lim} e^x \rightarrow \infty \) \( \overset{x \rightarrow - \infty}{\lim} e^x \rightarrow 0 \) \( \overset{x \rightarrow \infty}{\lim} e^{-x} \rightarrow 0 \) und \( \overset{x \rightarrow - \infty}{\lim} e^{-x} \rightarrow \infty \) Bei (a) wo ein Graph dargestellt ist, der alle x positiv ist und dessen Grenzwert für plus unendlich 0 ist und für minus unendlich plus unendlich, muss somit ein Produkt von \( x^2 \) und \( e^{-x} \) sein, aufgrund der oben erwähnten Produktbildung 2er positiver Zahlen und weil das Streben von \( e^{-x} \) gegen die Null stärker ist, als das Wachstum deiner Parabel. Also anschaulich bedeutet das: die Exponentialfunktion strebt schneller gegen 0, als die Parabel gegen unendlich strebt und somit strebt das ganze Produkt gegen 0. Für x gegen - unendlich streben beide gegen unendlich und das Produkt demzufolge auch. Alle anderen Zuordnung kannst du analog zu meiner Erklärung erstmal selber probieren, wenn du noch Fragen hast, oder nicht weiter kommst, kannst du dich ja nochmal melden!
geantwortet vor 2 Wochen
El_Stefano verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.23K
 

Und vielleicht lerne ich irgendwann noch die richtige Verwendung von \overset und \underset im mathematischen Formelsatz :D

Nicht verwirren lassen, das lim soll eigentlich über den x geht gegen +- unendlich stehen.
  -   El_Stefano, verified vor 2 Wochen
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Hallo,

(1) b), (2) d), (3) c), (4) a)

Begründung:

(1) b)  Die e-Funktion ist nie negativ, der Graph von b) schon also muss der Funktionsterm der zugehörigen Fkt für negative \(x\) negativ werden. Da ist bei (1) und (3) der Fall. Warum ist b) nicht das Bild von (3)?  Weil \(e^{-x}\) für \(x\rightarrow -\infty\) immer größer wird, der Graph aber gegen 0 geht.

(3) c) gleiche Argumentation wie im ersten Fall. Diesmal sehen wir aber, weil \(e^{-x}\rightarrow \infty\) und gleichzeitig \(x<0\) für \(x\rightarrow -\infty\), dass der Graph nach \(-\infty\) geht.

(2) d) Der Graph sieht fast aus wie die e-Funktion bis auf die Beule im negativen \(x\)-Bereich. Diese Beule entsteht durch multiplikation mit einer positiven Zahl: im Funktionsterm \(x^2\)

(4) a) Die gleiche Argumentation wie (2) d) mit der Modifikation, dass \(e^{-x}\) einfach eine an der y-Achse gespiegelte e-Funktion ist (die Beule liegt also rechts von der y-Achse)...

Ist das so verständlich? Wenn nicht, einfach nochmal nachhaken.

VG,

MoNil

geantwortet vor 2 Wochen
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monil verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.17K
 

Omg Vielen Dank!   -   marie99, vor 2 Wochen
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