Quadrik klassifizieren

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Hallo zusammen,

könnte mir kurz jemand erklären wie man bei der Aufgabe b) vorgeht. Habe zwar auf YouTube ein Video zur Hauptachsentransformation gefunden und ich verstehe auch grundsätzlich, wie hierbei vorzugehen ist, allerdings fehlt mir bei solchen Aufgaben immer der Ansatz, womit ich dann einfach das Schema F der Hauptachsentransformation abklappern kann.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

 

gefragt vor 2 Wochen
d
deirean,
Student, Punkte: 12
 
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1 Antwort
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Hallo,

wir bringen unsere Gleichung zuerst in die Form

$$ \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{u}^T \cdot \vec{x} + c = 0$$

Du hast schon fast diese Form gegeben. Wie sieht \( \vec{u}^T \) aus? Schreibe dir sonst einmal einen allgemeinen Vektor \(\vec{u}^T \) und multipliziere diesen mit

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$

Wie sieht \( c \) aus? Das ist der konstante Term der übrig bleibt.

Nun wollen wir das Koordinatensystem so verschieben, sodass wir die Normalenform erhalten um die Quadrik zu klassifizieren.

Dafür drehen wir das Koordinatensystem so, das die Achsen gut liegen. Dafür bestimmen wir alle Eigenvektoren und Eigenwerte und bestimmen daraus die Diagonalmatrix und die zugehörige Transformationsmatrix \( T \) für die gilt

$$ A = T D T^T $$

Diese Transformationsmatrix dreht das Koordinatensystem so, das die Achsen mit unseren Achsen der Quadrik übereinstimmen.

Deshalb wenden wir das auf die ganze Quadrik an. Wir dürfen dabei den Vektor \( \vec{u}^T \) und \( \vec{x} \) nicht vergessen. Dieser muss natürlich auch transformiert werden. Da für die Transformationsmatrix 

$$ T\cdot T^T = E $$

mit \( E \) der Einheitsmatrix gilt, formen wir folgendermaßen um

$$ \begin{array}{cccc} & \vec{x}^T A \vec{x} + \vec{u}^T \cdot \vec{x} + c & = & 0 \\ \Rightarrow & \vec{x}^T TDT^T \vec{x} + \vec{u}^T TT^T \vec{x} + c & = & 0 \end{array} $$

Es gilt nun

$$ \vec{x}^T \cdot T = \vec{x}^T \cdot (T^T)^T = (T^T \cdot \vec{x})^T $$

Wenn wir mit

$$ \vec{y} = T^T \vec{x} $$

bezeichnen, erhalten wir

$$ \vec{y}^T D \vec{y} + \vec{u}^T T \vec{y} + c = 0 $$

Dies ist nun unsere gedrehte Quadrik. Nun müssen wir sie noch so verschieben, sodass der Mittelpunkt auf dem Urpsrung des Koordinatensystems liegt. Dafür bringen wir unsere Quadrik in eine Art Scheitelpunktform.

Rechne nun deine neue Quadrik einmal aus. Du hast dann Summanden mit \(x,y \) oder \( z \) bzw \( x^2,y^2 \) oder \( z^2 \). Aber immer nur eins davon. Die gemischten Terme sind durch die Drehung verschwunden. Wenn alles ausgerechnet ist, dann sortiere deine Gleichung nach \( x,y \) und \( z \) und führe für jede Koordinate eine quadratische Ergänzung durch. 

Die Klammern die durch die quadratische Ergänzung entstehen sind die Verschiebungen die wir machen müssen. Wir erstzen die Klammer durch die betroffene Koordinate und sind fertig.

Versuch dich mal. Wenn Probleme auftauchen melde dich gerne nochmal. 

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen
christian_strack verified
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