Indem wir den Gradienten gleich 0 setzen, bekommen wir zwei Gleichungen:

\(\begin{align}4x^3+2y&=0\\2x+y&=0\end{align}\)

Dieses System können wir jetzt lösen. Subtrahieren wir zum Beispiel das Doppelte der zweiten Gleichung von der ersten, erhalten wir \(0=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\Longrightarrow x_1=0, x_2=-1, x_3=1.\)

Diese Werte setzen wir nun in eine der Gleichungen (zum Beispiel die zweite) ein, um \(y\) zu finden.

\(2x+y=0\Longrightarrow y=-2x\Longrightarrow y_1=-2\cdot0=0,y_2=-2\cdot(-1)=2, y_3=-2\cdot1=-2.\)

Deine Lösungen sind genau die Vektoren \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) die das oben stehende Gleichungssystem lösen. Das Gleichungssystem besteht aus den 2 Gleichungen:

\( 4x^3 + 2y = 0 \)

und

\( y + 2x = 0 \)

Die triviale Lösung von (0,0) erkennt man direkt. Die anderen beiden kann man berechnen, in dem man die 2. Gleichung zunächst nach y umstellt: \( y = -2x \) und das wiederum in die erste Gleichung einsetzt. \( 4x^3 + 2 (-2x) = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0\). Daraus folgen deine 3 x-Koordinaten 0, +- 1. Diese setzt du nun in die umgestellte 2. Gleichung ein und berechnest damit die Werte für y, so dass eben gilt \( y_1 = -2 \cdot 0 = 0; y_2 = -2 \cdot 1 = -2 ;  y_2 = -2 \cdot -1 = 2 \) und damit hast du jeweils deine Vektoren.