Beweis Grenzpunkt Vektorfeld

Aufrufe: 823     Aktiv: 28.03.2020 um 21:55
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Guten Abend

Heute hätte ich noch eine zweite Aufgabe, bei der ich Hilfe bräuchte:

 

Es gilt zu zeigen: \(X_\infty\) muss eine Gleichgewichtslage sein.

Mein Beweisansatz bisher:

Damit \(X_\infty\) eine stationäre Lösung / Gleichgewichtslage sein kann, darf die Bahn nur einem Punkt bestehen und zwar genau dann, wenn dieser Punkt eine Nullstelle des Vektorfelds ist.

Ich bin mir nicht sicher, ob das in die Richtige Richtung geht, aber könnte ich mir jetzt ein beliebiges Vektorfeld zurechtbastel, sodass für den Grenzwert \(X_\infty := t \rightarrow \infty \;\gamma(t)\) gilt, dass der Wert 0 angenommen wird?

Ich freue mich über gute Tipps :)

 

LG

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Tipp: Wende den Fluss für einen Zeitpunkt \(\tau\) auf die Gleichung \(\lim\limits_{t\to\infty}\gamma(t) = X_\infty\) an.

Oder leite diese Beziehung ab und benutze, dass \(\dot \gamma(t) = F(\gamma(t))\) gilt und dass \(F\) stetig im Punkt \(X_\infty\) ist.

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Vielen Dank für die Tipps, aber ich seh da immer noch nicht ganz genau wie ich auf den verlangten Grenzwert komme. : /   ─   wizzlah 28.03.2020 um 12:28
Nimm den zweiten Vorschlag, ich glaube, der ist einfacher. Schreib doch einfach mal dass auf, was ich gesagt habe. Da sollte dann \(F(X_\infty)=0\) rauskommen.   ─   digamma 28.03.2020 um 12:36
Ja das dachte ich mir auch, dass der zweite Vorschlag angenehmer ist. :-)
Ich probiere es gleich einmal bzw. noch einmal.   ─   wizzlah 28.03.2020 um 14:34
\(\lim \limits_{t \to \infty} F(\gamma(t)) = F(X_\infty)\). Da die Bahn nur aus einem Punkt besteht und \(\dot \gamma(t) = F (\gamma(t))\) gilt muss dort der Wert 0 herauskommen, weil die Funktion dort das Max / Min annimmt. Stimmt das so?   ─   wizzlah 28.03.2020 um 14:58
Deine Argumentation verstehe ich leider nicht. Meine wäre: Ableiten der Gleichung \(\lim_{t\to\infty}\gamma(t) = X_\infty\) liefert \(\lim_{t\to\infty}\dot\gamma(t) = 0\), weil die rechte Seite konstant ist. Anwenden der Differentialgleichung \(\dot\gamma(t) = F(\gamma(t))\) liefert dann \(\lim_{t\to\infty}F(\gamma(t)) = 0\). Da \(F\) stetig ist, ist aber \(\lim_{t\to\infty}F(\gamma(t)) = F(\lim_{t\to\infty}\gamma(t)) = F(X_\infty)\) also folgt \(F(X_\infty)=0\).   ─   digamma 28.03.2020 um 18:57
Super danke vielmals. :)   ─   wizzlah 28.03.2020 um 21:55

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