Du solltest ein bisschen mehr Kontext angeben. Allgemein: Funktionen, die von zwei Variablen abhängen (also auf einer Teilmenge des R^2 definiert sind), kann man über diese Teilmenge integrieren, indem man erst über die eine Variable integriert (und die andere dabei als Parameter betrachtet), dann über die andere.

Deine Formel sieht nach elementarer Differentialgeometrie aus. Was ist a? Die Gramsche Determinante?

Ja, \(\sqrt{a}\) ist die gramsche Determinante. Diese gibt an, wie groß der Flächeninhalt des Parallelegramms ist, das von den Vektoren \(\mathbf a_1\) und \(\mathbf a_2 \),  Wenn man diese Funktion über \(\theta_1\) und \(\theta_1\) integriert, erhält man den Flächeninhalt der Fläche.