Komplexe Zahlen: Exponentiation + Radizieren

Aufrufe: 986     Aktiv: 30.03.2020 um 15:06
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Man bestimme jeweils alle komplexen Zahlen z (in kartesischen Koordinaten), die den folgenden

Gleichungen genügen:

f) 𝑧^2 + (1 + 𝑖) ∙ 𝑧 − 2 + 2 ∙ 𝑖 = 0

Ich komme bei dieser Aufageb einfach nicht weiter. 

Vlt hat jemand ein Tipp wie ich am besten anfangen 

Das ist die Letzte Aufgabe aus meinen Übungsblatt für Mathe 2, ich Studiere Maschinenbau

Lösung 1 eher Glück gewesen.

2 Lösung mit der PQ-Formerl:

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Punkte: 15

 
Wende einfach die pq-Formel drauf an, ich denke das reicht. Wenn du die Lösungen dann ausrechnest ist es sinnvoll mehrmals zwischen der \(a+bi\) und der
\(a\cdot e^{i\phi}\) Darstellung zu wechseln.   ─   beeen 29.03.2020 um 14:07
Das kam mir auch aber dafür müsste es doch als Z^2+i*z+Rellezahl stehen oder?
Kann man auch Bilder hochladen ? Ich hab mir ne Lösung gefunden. Ich habe erst ausgeklammert, dann zusammen gefasst. Eine Nullstelle dadurch bekommen und im Anschluß Polynomdivsion durch geführt für die 2 Nullstelle.
   ─   darthmarv13 29.03.2020 um 14:20
Ich glaub man kann Bilder hochladen ich weiß aber leider nicht wie...sry. Es muss nicht so \(z^{2}+i\cdot z+\)Rellezahl da stehen. Um die pq-Formel anzuwenden muss es so aussehen \(z^2+p\cdot z+q=0\) Wobei p und q Komplexe Zahlen seien können.
Ich hab es jedenfalls mit der pq-Formel versucht und bei mir hat es funktioniert.
Was hast du als \(p\) und \(q\) genommen? Ich habe \(p=1+i\) und \(q=-2+2i\). Falls du noch Probleme hast schreibe ich gerne eine ausführliche Antwort.   ─   beeen 29.03.2020 um 14:23
Ich hab mich wohl irritieren lassen von dem 2i ich dachte das es dadurch nicht geht . Ich habe als 1 Nullstelle z=-2 und als 2 Nullstelle z=1-i raus und du?   ─   darthmarv13 29.03.2020 um 14:28
Hab ich auch raus super Sache c;   ─   beeen 29.03.2020 um 14:31
Hammer dann probiere ich das nochmal mit der PQ-Formel. Danke nochmal für den Tipp wäre wohl auch einfacher damit gewesen. Ich hab meine Lösung mal hochgeladen. Schönen Sonntag noch =)   ─   darthmarv13 29.03.2020 um 14:36
Deine Lösung ist sogar einfacher, weil man keine Wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen muss.   ─   sterecht 29.03.2020 um 14:56
Cool, aber ich würde es gerne nochmal mit der PQ- Formel machen aber da Hänge ich grade fest das der Taschenrechner mit Error ausspuckt unter der Wurzel.   ─   darthmarv13 29.03.2020 um 14:59
Dein Ansatz auf dem Blatt oben funktioniert, wenn man schon weiß, oder vermutet, dass eine der Lösungen reell ist. Dann kann man die Gleichung in Real- und Imaginärteil zerlegen und diese einzeln = 0 setzen. Aber im Allgemeinen ist z nicht reell, deshalb ist die Zerlegung, die du gemacht hast, nicht wirklich eine Zerlegung in Real- und Imaginärteil und das Ganze funktioniert so nicht.   ─   digamma 29.03.2020 um 15:08
Ich habe mal meine Lösung mit der PQ Formel Hochgeladen. Hoffe die stimmt jetzt.

Schönen Sonntag noch.   ─   darthmarv13 29.03.2020 um 15:11
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1 Antwort
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Hallo,

das vorgehen mit der pq-Formel ist an sich richtig. Du sind nur 2 kleine Flüchtigkeitsfehler passiert.

2te zur 3ten Zeile:

$$ - \frac {1+i} 2 = - \frac 1 2 - \frac i 2 $$

Dann musst du nach dem Wurzelziehen den ganzen Ausdruck in eine Klammer setzen. Beim multiplizieren ist das noch nicht so schlimm, aber in Zeile 7 müsste stehen

$$ - \frac 1 2 - \frac i 2 \pm \left( - \frac 3 2 + \frac i 2  \right) $$

Beim \(+\) können wir die Klammer einfach weglassen, aber das Minus wirkt sich auf die gesamte Klammer aus

$$ - \frac 1 2 - \frac i 2 - \left( - \frac 3 2 + \frac i 2 \right) = - \frac 1 2  - \frac i 2 + \frac 3 2 - \frac i 2  $$

Durch die erste Korrektur gilt dann auch

$$ - \frac 1 2 - \frac i 2 - \frac 3 2 + \frac i 2 = - \frac 4 2 = -2 $$

Deine zweite Nullstelle liegt damit bei

$$ - \frac 1 2 - \frac i 2 + \frac 3 2 - \frac i2 = 1 - i $$

Grüße Christian

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Vielen Dank, der fehler war mir garnicht aufgefallen.   ─   darthmarv13 30.03.2020 um 15:01
sehr gerne :)   ─   christian_strack 30.03.2020 um 15:06

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