Dein Ansatz ist jedenfalls richtig, aber du hast dich mehrfach verrechnet.

Du kannst nicht bei einem Quotienten von Summen einzelne Summanden kürzen, das funktioniert nur bei Produkten im Zähler und Nenner.

Du kannst auch nicht einfach das 4200 auf die andere Seite bringen, da es multiplikativ an andere Terme gebunden ist.

Am einfachsten ist es wohl, den Bruch auf zwei Teile aufzuteilen und dann \(q^n\) auszuklammern:

\(0=K_0q^n-r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=K_0q^n-r\left(\frac{q^n}{q-1}-\frac1{q-1}\right)=\left(K_0-\frac r{q-1}\right)q^n+\frac r{q-1}\)

Nun subtrahieren wir \(\frac r{q-1}\) von beiden Seiten der Gleichung und teilen anschließend durch die Klammer

\(q^n=\frac{-\frac r{q-1}}{K_0-\frac r{q-1}}=\frac r{r-K_0(q-1)}\),

wobei wir im letzten Schritt den Bruch mit \(1-q\) erweitert haben. Nun musst du nur noch den Logarithmus zur Basis \(q\) nehmen und kommst auf das Ergebnis.