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Hallo,
soweit bist du schon mal auf dem richtigen Weg :)
Nun müssen aber falsche Aussagen auch noch korrigiert werden.
2) Was muss denn für \( r \) und \( s \) gelten, damit die drei Vektoren linear abhängig sind?
3) Dein Gegenbeispiel ist absolut richtig. Also müssen wir den Satz umformulieren
Was sagt es denn dann über die Vektoren aus, wenn wir einen Vektor als Linearkombination von zwei anderen Vektoren darstellen können?
4) Wie digamma so schön sagt, deine Verwirrung zeigt dir hier richtig, das es etwas nicht stimmen kann. Fragen wir uns wieder, was muss denn für \( r \) und \( s \) gelten, damit die drei Vektoren linear unabhängig sind?
Versuch mal die Aussagen zu korrigieren. Ich gucke gerne nochmal drüber. :)
Grüße Christian
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2) Hier müsste doch r oder s ungleich Null sein, daher lautet die Aussage dann: Die Vektoren [...] sind linear abhängig, wenn gilt: r*u+s*v=w mit r oder s ungleich 0.
3) habe ich so geändert, dass es linear abhängig heißt.
4) Lineare Unabhängigkeit gibt es doch, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Müsste hier r=s=0 sein? Aber es heißt doch trotzdem noch r*u+s*v=w, nur wie sollen denn überhaupt u(1|1|2) und v(3|1|1) mit diesen Zahlen irgendwie w(0|0|1) ergeben? Mit diesen Beispielen kommt man doch nie im Leben genau auf w? Oder muss es r*u+s*v ist ungleich w heißen, mit r=s=0? Ich bin immer noch verwirrt.
LG Manuel ─ manuel01 30.03.2020 um 10:26
Die 2) und 3) sind auf jeden Fall schon mal richtig. :)
4) Ja da liegst du auch richtig. Die Definition der Linearen Un-/Abhängigkeit, erfolgt eigentlich über die Linearkombination des Nullvektors. Also über die Gleichung
$$ r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} + t \cdot \vec{w} = 0 $$
hier müsste nun \( r=s=t =0 \) gelten.
Nun gut das steht jetzt aber nicht da. Bei dieser Gleichung darf es einfach keine Lösung für \( r ,s \) geben.
Ich würde dann sowas schreiben wie:
...sind nur linear unabhängig, wenn bzgl. der Gleichung
$$ r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} = \vec{w} $$
für \(r \) und \( s \) keine Lösung existiert.
Grüße Christian ─ christian_strack 30.03.2020 um 10:32
─ manuel01 30.03.2020 um 10:45
Sehr gerne. ─ christian_strack 30.03.2020 um 10:50