Hallo Cocoplenty,

bei solchen Aufgaben geht es darum Funktionen zu bestimmen, anhand gegebener Eigenschaften. Gehen wir es hier an deinem Beispiel mal schrittweise durch:

Zunächst ist meist wichtig, um welchen Typ von Funktion es sich handelt. Hier in deiner Aufgabe ist es eine quadratische Funktion. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion ist \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Nun musst du also anhand der gegebenen Informationen die Werte für a, b und c bestimmen.

Der erste Hinweis ist bezieht sich auf das bestimmte Integral im Intervall 0 bis 3. Dafür integrierst du deine allgemeine Funktion und erhältst:

\( F(x) = \frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx + Const. \) und

\( F(3) - F(0) = 20 \Leftrightarrow (\frac{1}{3}27a + \frac{1}{2}9b + 3c + Const.) - (\frac{1}{3}0a + \frac{1}{2}0b + 0c + Const.) = 9a + 4,5b + 3c = 20 \)

Die zweite und dritte Gleichung erhältst du aus der Information mit dem Tiefpunkt. Zunächst hast du den Tiefpunkt gegeben. Das kannst du jeweils für x und y in deine allgemeine Gleichung einsetzen und erhältst:

\( 4 = 4a + 2b +c \)

Die letzte Information ist eben, dass es sich dabei um einen Tiefpunkt handelt, d.h. die Ableitung an dieser Stelle 0 sein muss. Daraus folgt: \( f'(x) = 2ax + b = 0 \) und eingesetzt, da du ja weißt, dass x = 2 ein Tiefpunkt ist gilt \( 4a + b = 0 \).

Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten und das musst du wiederum lösen. Dafür gibt es z.B. das Gauß Verfahren. Deine 3 Gleichungen lauten:

\( 9a + 4,5b + 3c = 20 \)

\( 4a + 2b +c = 4 \)

\( 4a + b = 0 \)

Hallo,

also zunächst einmal folgt aus der Angabe ("quadratische Funktion"), dass die gesuchte Funktion wie folgt aussieht: \(f(x)=ax^2+bx+c\), mit entsprechend zu bestimmenden Parametern \(a,b,c\)

Aus der Tatsache, dass der Punkt \(T(2\,|\,4)\) gegeben ist und mit der Information, dass es sich um einen Tiefpunkt T handelt kann man schnell die Scheitelform für \(f\) aufstellen (dieser TiP ist dabei dann der Scheitelpunkt): \(f(x)=a\cdot (x-2)^2 +4\). \(a\) können wir daraus noch nicht berechnen, aber wir wissen ja auf jeden Fall \(a>0\) (da T Tiefpunkt geht die Parabel geht nach oben auf, braucht also positives Vorzeichen).

Wenn wir die Scheitelform jetzt ausmultiplizieren, erhalten wir \(f(x)= a\cdot x^2-4a\cdot x+4a+4\). Jetzt benutzen wir die Information, dass die Fläche unter \(G_f\) im Intervall \([0;3]\) gleich \(20\,FE^2\) ist, indem wir \(f\) integrieren:

\(20 = \int^{3}_{0}(ax^2-4ax+4a+4)dx = [\frac{a}{3}x^3-2ax^2+4ax+4x]^3_0=\left(9a-18a+12a+12\right)-0=3a+12\), also erhalten wir

\(20=3a+12\) und dies ist schnell umgeformt zu: \(a=\frac{8}{3}\). Wir bekommen also für die gesuchte Funktion: \(f(x)=\frac{8}{3}\cdot (x-2)^2+4 = \frac{8}{3}x^2-10\frac{2}{3}x+14\frac{2}{3}\).

Ich würde Dich bitten meine Rechnungen gerne noch einmal nachzuvollziehen, da ich mich durchaus auch mal verrechne, hoffe allerdings das passt so und Du verstehst wie sowas zu lösen ist. Wenn noch was unklar ist, einfach melden.

Viele Grüße,

MoNil