Überleg dir mal, welche Eigenschaften erfüllt sein müssen, damit eine Untergruppe vorliegt. Und setze dann einfach mal an. Zum Beispiel bei der ersten Aufgabe: Seien \(a'\) und \(b'\) zwei Elemente aus \(\varphi(H)\). Zu zeigen ist, dass \(a'*b'\in \varphi(H)\) gilt. Was weiß man? Da \(a'\) und \(b'\) in \(\varphi(H)\) liegen, gibt es \(a, b \in H\) mit \(a'=\varphi(a), b' = \varphi(b)\). Weil \(\varphi\) ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt \(\varphi(a) * \varphi(b) = \varphi(a\cdot b)\). Weil \(H\) eine Untergruppe von \(G\) ist, gilt \(a\cdot b \in H\).
Daraus folgt \(a' * b' = \varphi(a) * \varphi(b) = \varphi(a\cdot b) \in \varphi (H)\).

Die Beweise für die anderen Eigenschaften verlaufen ganz analog.