Hallo,

ja, Du hast recht, beide Male \(\Bbb{N}\) geht so nicht. Man könnte aber \(\Bbb{Q}=\{\frac{a}{b}\,|\, a\in \Bbb{Z}\, ,b \in \Bbb{N}\}\) machen, v.a. wenn man definiert hat, dass \(0\notin \Bbb{N}\) - ist ein bisschen Geschmacksache.

Ja Brüche und Dezimalzahlen dürfen da auch stehen, ABER \(\frac{\pi}{2}\notin \Bbb{Q}\), d.h. die Dezimalzahlen müssen selbst wieder Brüche sein, damit der Bruch selbst wieder Teil von \(\Bbb{Q}\) ist. Warum ist dann \(\frac{\frac{3}{2}}{5}\in\Bbb{Q}\)? Weil wir sowas umformen können zu \(\frac{\frac{3}{2}}{5}=\frac{15}{2}\) und da haben wir wieder die Definition erfüllt. Im Falle von Dezimalzahlen die man als Bruch schreiben kann, macht man genau das Gleiche: Dezimalzahl in Bruch umwandeln, dann mehrfach-Bruch in simplen Bruch umwandeln. Was ist dann mit meiner Definition, insbesondere meinem \(b\in\Bbb{N}\setminus\{0\}\), dürfen dann keine negativen Zahlen im Nenner stehen? Naja, auch da behilft man sich mit einer Umformung wie \(\frac{a}{-b}:=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}\).

Hilft Dir das weiter?

Viele Grüße,

MoNil

Du hast Recht, da müsste \(\mathbb Z\) statt \(\mathbb N\) stehen, zumindest für \(a\). (Wenn man zusätzlich auch für \(b\) negative Zahlen zulässt, erhält man keine neuen Zahlen, da man das Minus ja auch in den Zähler schreiben kann.)

Zu deiner zweiten Frage: Ja, man kann auch im Zähler oder im Nenner Brüche haben, aber dadurch entstehen keine neuen Zahlen. Du kannst einen Doppelbruch immer auch als normalen Bruch schreiben, da \(\frac{\frac ab}{\frac cd}=\frac{ad}{bc}\). Folglich kannst du jede rationale Zahl in der Form eines normalen Bruchs darstellen.

Hey,

also ich kenne die Definition: \( \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b}: a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \} \), wobei manche die natürlichen Zahlen sowieso ohne die 0 definieren und somit der Ausschluss der 0 nicht noch einmal explizit dazu geschrieben werden muss.

Wie du bereits richtig sagst, deckst du damit sämtlichen positiven und negativen Brüche ab.

Nun zu deiner zweiten Frage: das was du meinst mit Zähler und Nenner können Dezimalzahlen sein, ist per Definition nicht korrekt, denn lassen sich solche Ausdrücke teilweise ebenfalls als rationale Zahl schreiben. Wenn du z.B. \( \frac{1,1}{6} \) hast, dann lässt sich der Zähler ja als rationale Zahl schreiben und dann hast du den von dir erwähnten Doppelbruch, den du wiederum als rationale Zahl umschreiben kannst; hier im Beispiel wäre das \( \frac{\frac{11}{10}}{6} = \frac{11}{60}\), womit wiederum eine rationale Zahl definiert wäre. Per Definition zählen aber nur Brüche vom Typ Ganze Zahl geteilt durch eine natürliche Zahl zu den rationalen Zahlen. Reelle Zahlen wie \( e, \pi, \sqrt{2} \), etc. können ebenfalls im Bruch stehen, dennoch definieren diese keine rationale Zahl!