Darstellungsmatrix einer lin Abb. bezüglich einer geordneten Basis

Aufrufe: 712     Aktiv: 01.04.2020 um 11:31
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Hallo,

ich verstehe nicht ganz, wie man auf die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung kommt. Ich kenne den Satz, dass die Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Standardvektoren sind. Ist dies immer der Fall? 

Ich habe folgende lin. Abbildung ϕ: U → V, f → f´´

Und U ist wie folgt definiert: span { 1, sin (x)* cos (x), sin^2(x)}

In der Lösung ist die Matrix nun gegeben als ( 0 0 2 // 0 -4 0 // 0 0 -4)) (Bei den // beginnt eine neue Zeile, leider komme ich nicht auf die Formelschreibweise). Dies sind zwar die Bilder der Einheitsvektoren aber müsste in diesem Fall nicht A transponiert werden, damit ich auch eine sinnvollen Vektor rausbekomme? 

 

 

 

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Student, Punkte: 19

 
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Ich verstehe nicht, warum du die Matrix transponieren möchtest. Nein, das ist so schon richtig.

\(\phi(1) = 0 = 0 \cdot 1+0\cdot \sin\, \cos + 0\cdot \sin^2\)
\(\phi(\sin\, \cos) = 0\cdot 1+ ({-4}) \cdot \sin\,\cos + 0\cdot \sin^2\)
\(\phi(\sin^2) = 2\cdot 1+ 0 \cdot \sin\,\cos + ({-4}) \cdot \sin^2\).

Das ist das, was in der Matrix steht.

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Danke für deine Antwort, aber iwie wird mir der Sinn dieser Schreibweise immer noch nicht klar. Also ich schreibe die Bilder der Einheitsvektoren in die Matrix aber was habe ich damit erreicht?

Worauf ich mit dem transponieren hinaus wollte ist, dass wenn ich einen Vektor aus U habe, zB (1, sin (x)* cos (x), sin^2 (x) ) und ich die Abbildungsmatrix mit diesem multipliziere, ich die 2 Ableitung hinaus bekomme, also wie be einer ganz normalen lin Abbildung multipliziere ich die Matrix mit einem Vektor aus dem Definitionsbereich um mein Bild rauszubekommen. Dies Funktioniert aber nur mit der transponierten Matrix, zumindest nach meiner Rechnung.
Vielleicht verstehe ich aber auch nur den Ansatz komplett falsch.   ─   fellin 31.03.2020 um 23:56
`(1,sin cos, sin^2)` ist kein Vektor. Das ist eine Basis, bestehend aus den drei Vektoren `1`, `sin cos` und `sin^2`. Ein Vektor ist eine Linearkombination aus diesen Basisvektoren, z.B. `v = 3*1 + 4 * sin cos -5*sin^2`. Und dieser wird durch den Spaltenvektor \(\left(\begin{smallmatrix}3\\4\\-5\end{smallmatrix}\right)\) dargestellt. Wenn die dadurch dargestellte Funktion zwei mal abgeleitet werden soll, wird dieser Spaltenvektor von links mit der Abbildungsmatrix multipliziert. Man erhält wieder einen Spaltenvektor, der, wenn man ihn mit den Basisvektoren umschreibt, die zweite Ableitungsfunktion darstellt.   ─   digamma 01.04.2020 um 11:01
Vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden, mein Fehler war, dass ich den Vektor falsch aufgefasst habe, das hat mich dann verwirrt.   ─   fellin 01.04.2020 um 11:31

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