Ich kann bei deinem Ansatz keinen Schritt nachvollziehen, in meinen Augen sind sie alle falsch. Wo zauberst du nach dem ersten Gleichheitszeichen das\(+ab\) her? Was soll die zweite Gleichheit für ein Gesetz sein? Und \(a\cdot a\neq a\) für fast alle \(a\).

Wir wissen, dass \((\mathcal R, +)\) eine Gruppe ist. In Gruppen sind inverse Elemente eindeutig (das müsstest du zeigen, falls du diesen Fakt nicht kennst. Wer sich mit Ringen beschäftigt, kennt aber meistens Gruppen ganz gut.), d.h. falls \(x+y=0\), dann ist \(x=-y\). Es genügt also zu zeigen, dass \((a\cdot b)+ ((-a)\cdot b)=0\).

Aber das ist einfach. Es ist \(ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0\), wobei wir im ersten Schritt Distributivität, im zweiten die Definition des Inversen und im letzten den Fakt \(0x=0\) für alle \(x\in\mathcal R\) benutzt haben (wenn ihr das noch nicht gemacht habt, müsste das natürlich auch noch bewiesen werden). Wir folgern also, dass \((-a)b\) das additive Inverse zu \(ab\) ist und wegen der Eindeutigkeit ist \(-(ab)=(-a)b\)

Wenn das Minus vor dem \(b\) steht, geht alles vollkommen analog.