Die Fläche zu berechnen ist relativ einfach. Die Schnittfläche ist das Doppelte des Teils der Schnittfläche, der rechts von der \(y\)-Achse liegt. Diese ist die Differenz des Kreissegments, das von \(M,P,Q\) aufgespannt wird, und des Dreiecks \(MPQ\). Um diese beiden Flächen zu bestimmen, berechnen wir zunächst den Winkel zwischen \([MP]\) und \([MQ]\). Dieser ist \(\alpha=\frac{2\pi}3\). Versuch mal, dir selbst zu überlegen, wie man darauf kommt. 

Die Fläche des Kreissegments ist einfach \(\frac\alpha{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac\alpha 2 r^2\), die Fläche des Dreiecks ist \(\frac12r^2\sin\alpha\). Folglich ist deren Differenz \(\frac{r^2}2(\alpha-\sin\alpha)\) und die gesamte Schnittfläche hat den Flächeninhalt \(r^2(\alpha-\sin\alpha)\). 

Für eine Gleichung für die Schnittfläche fällt mir nichts anderes ein, als das was du schon sagst: aufteilen in Intervalle und einzelne Gleichungen angeben. So kommt man auf 

\(S=\begin{align}\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon(x+1)^2+y^2\leq4, x\geq0 \text{ oder } (x-1)^2+y^2\leq 4,x<0\}\end{align}\).