Bei der a) verstehe ich nicht, wo bei dir der Binomialkoeffizient herkommt. Wir wissen schließlich, dass die ersten \(k_1-1\) Versuche keine Treffer waren, die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(q^{k_1-1}\). Dann kommt noch ein Treffer mit Wahrscheinlichkeit \(p\) dazu, die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann das Produkt aus den beiden, also \(pq^{k_1-1}\).

Die b) ist ein kleines bisschen komplizierter. Dein Term berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass nach \(k_2\) Versuchen \(k_1\) Treffer vorliegen. Du berücksichtigst also nicht, dass der letzte Treffer beim letzten Versuch passiert sein soll. Wenn wir das miteinbeziehen, berechnen wir erst die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(k_2-1\) Versuchen \(k_1-1\) Treffer geschehen. Dafür können wir einfach die Formel für die Binomialverteilung hernehmen \(\binom{k_2-1}{k_1-1}p^{k_1-1}q^{k_2-1-(k_1-1)}\). Danach soll jetzt beim nächsten Versuch ein Treffer erzielt werden, die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(p\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich wieder als Produkt der beiden Terme, was sich zu \(\binom{k_2-1}{k_1-1}p^{k_1}q^{k_2-k_1}\) vereinfacht.