Betragsaufgaben kann man oft gut mit Fallunterscheidungen lösen. Das ist dann zwar oft viel Schreibarbeit, aber nicht schwer.

Für jeden Betrag betrachten wir als Fälle einzeln die Bereiche, in denen das Innere des Betrags entweder positiv oder negativ ist. Dann können wir den Betrag eindeutig auflösen und erhalten nur eine lineare Ungleichung.

Für die a) benötigen wir 3 Fälle:

1. Fall \(x<1\): Dann sind sowohl \(x-1\) als auch \(x-3\) negativ, sodass die Beträge das Vorzeichen verändern. Wir erhalten die Ungleichung \(-(x-1)<-(x-3)\Longleftrightarrow 1<3\), was für alle \(x\) erfüllt ist. Das komplette Intervall \(]-\infty,1[\) gehört also schonmal zur Lösumgsmenge.
2. Fall \(1\leq x<3\): Dann ist \(x-1>0\) und \(x-3<0\), der Betrag ändert also nur das Vorzeichen des zweiten Betrags. Wir erhalten \(x-1<-(x-3)\Longleftrightarrow x<2\), also erhalten wir auch noch die Lösungen \([1,2[\). (Immer die Grenzen des Falles mitbeachten)
3. Fall \(x>3\). Hier sind beide Beträge positiv, und wir kommen auf \(1>3\), was für kein x erfüllt ist. Folglich gibt es hier keine weiteren Lösungen.

Die Gesamtlösung ist dann einfach alle einzelnen Lösungen zusammen, also hier \(]-\infty,1[\ \cup\ [1,2[\ =\ ]-\infty,2[\)