Dimension eines Vektors

Aufrufe: 943     Aktiv: 04.04.2020 um 14:17
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Hallo, 

normalerweise spricht man über die Dimension eines Vektorraums. Die entspricht der Anzahl der Elemente ihrer Basis. Wie siehts aus mit der Dimension von Untervektorräumen aus einem Element? 

Speziell dieser Fall: Sei V ein K-Vektorraum mit V=R^3 und U ein Untervektorraum mit U=L((1,1,0)) 

Weshalb ist die Dimension von U gleich 1? 

Danke 

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Weil die Basis des Untervektorraums aus nur einem Element besteht, hier dem Vektor (1, 1, 0). Ein Unterraum, der von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, ist dementsprechend zweidimensional.

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Für was steht das "L" ?   ─   ChrissiSchmid 04.04.2020 um 11:11
Wahrscheinlich für "Linearer Unterraum". Eine alternative Schreibweise für "span".   ─   digamma 04.04.2020 um 11:13
Danke, für mich ist das trotzdem nicht verständlich. Kann man den Vektor denn nicht in zwei Basisvektoren (1,0,0) und (0,1,0) aufspalten?
Ich weiß dass es einfacher ist als ich denke, komme aber nicht drauf :/   ─   alisa 04.04.2020 um 11:17
Ich denk eher, dass er das transponierte meint. Sonst ist das doch nicht mal ein Vektor aus dem R^3. Dann würde das mit der Dimension 1 des UVR auch stimmen? Oder bin ich gerade auf dem Holzweg?   ─   ChrissiSchmid 04.04.2020 um 11:17
L soll die lineare Hülle sein   ─   alisa 04.04.2020 um 11:19
@ChrissiSchmid: Das ist ein Irrtum, dass man Vektoren aus dem R^3 als Spaltenvektoren schreiben muss. Das muss man nur, wenn man Matrizen darauf anwenden möchte. Ansonsten ist es einfach praktisch zum Rechnen, weil die Einträge, die miteinander verrechnet werden, in einer Zeile stehen. Die Elemente von R^3 sind aber einfach 3-Tupel von Zahlen, und die kann man auch in einer Zeile schreiben.   ─   digamma 04.04.2020 um 11:28
@alisa: Die beiden Vektoren (1, 0, 0) und (0, 1, 0) liegen aber nicht in dem Untervektorraum. Die Basis eines (Unter-)Vektorraums muss in diesem Vektorraum enthalten sein. Sonst spannt sie einen größeren (Unter-)Vektorraum auf.   ─   digamma 04.04.2020 um 11:30
Wenn du die Lineare Hülle einer Menge von linear unabhängigen Vektoren bildest, dann bilden genau diese Vektoren eine Basis. Das ist die Definition einer Basis: Sie ist linear unabhängig und ihre lineare Hülle ist der betrachtete Vektorraum.

Ein einzelner Vektor, der nicht der Nullvektor ist, ist immer linear unabhängig. Da (1,1,0) deinen Untervektorraum aufspannt, besteht die Basis aus nur diesem einen Vektor.   ─   digamma 04.04.2020 um 11:37
Okey, also erstmal bedanke ich mir bei dir.
Damit ich es richtig verinnerliche, kannst du eventuell sagen wieso:
Der Untervektorraum mit (λ1, λ2) zweidimensional ist, aber mit (λ1, λ1) eindimensional.

  ─   alisa 04.04.2020 um 11:48
Hier wird nicht die Basis angegeben, sondern `lambda _1` und `lambda_2` durchlaufen alle Werte von `RR` bzw. `K`. Die Basis besteht im ersten Fall aus (0, 1) und (1, 0), im zweiten Fall aus dem einen Vektor (1, 1). Vielleicht sieht man das besser an folgernder Darstellung:
\((\lambda_1, \lambda_2) = \lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1)\)
\((\lambda_1, \lambda_1) = \lambda_1(1,1)\)   ─   digamma 04.04.2020 um 12:16
Danke :)   ─   alisa 04.04.2020 um 14:17

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