Vollständige Induktion - n im Exponenten

Aufrufe: 806     Aktiv: 08.04.2020 um 10:48
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Hallo, ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Wie gehe ich im Beweis vor und stelle das Ergebnis verständlich um?

 

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Student, Punkte: 14

 
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Du hast ja schon vollständige Induktion im Titel angegeben, also benutzen wir die. Der Induktionsanfang ist trivial.

Angenommen, die Aussage gilt für ein \(n\in\mathbb N_0.\) Dann gilt 

\(11|99\cdot10^{2n+1}\) und \(11|10^{2n+1}+1\) nach Voraussetzung. Also teilt 11 auch die Summe der beiden, d.h. \(11|(99\cdot10^{2n+1}+10^{2n+1}+1)=10^{2(n+1)+1}+1.\) Damit ist die Aussage gezeigt.

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Also den Induktionsanfang überlasse ich mal dir.

Wir wollen jetzt zeigen, dass die Aussage für n+1 richtig ist, wenn sie für n stimmt.

Das heißt wir wollen zeigen, dass

\( 10^{2*(n+1)+1} + 1 = 10^{2n+3}+1 \)

durch 11 teilbar ist.

\( 10^{2n+3}+1 = 100 * 10^{2n +1} + 1  = 100 * (11k-1)+1 = 100 * 11 k  - 99 = 11 *(100k-9)\)

Die Induktionsvorraussetzung wird beim zweiten Gleichheitszeichen genutzt. k ist aus Z

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Student, Punkte: 445

 
Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort.
Eine Frage habe ich gerade noch... wie ist das mit dem k zu verstehen?   ─   mathetorpedo 07.04.2020 um 18:43
k ist einfach eine ganze Zahl ,sodass \( 11 * k = 10^{2n+1} + 1 \) ist. 11 ist ja ein Teiler   ─   crazyfroggerino 08.04.2020 um 10:48

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