Mengenlehre (Klausuraufgabe)

Aufrufe: 608     Aktiv: 08.04.2020 um 14:55
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Aufgabe 1

Geben Sie die Menge M1 in extensionaler Schreibweise an:

M1 ={ (x,y) ∈{1,2,3,4}×{2,3,5,7} | x + y ist eine Primzahl } \ { (x,y) ∈ R2 | x + y = 5 }

Aufgabe 2

Beweisen Sie (durch ein Beispiel) oder widerlegen Sie (durch Argumentation), dass eine Menge M2 mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1.) |M2| < ∞

2.) M2 ∩ R ⊇ Q \ {0}

3.) M2 ∪ Q ⊂ R

4.) R2 \ M2 ⊂ R2

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1 Antwort
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Für \(M_1\) müssen wir also alle Primzahlen außer 5 betrachten und Möglichkeiten finden, sie als Summe von Elementen aus den zwei Mengen zu schreiben. 2 ist als Summe nicht möglich, für 3 gibt es nur die Möglichkeit 1+2, also ist \((1,2)\in M_1\). Schaffst du es, die Möglichkeiten für die Primzahlen 7 und 11 zu finden?

Die zweite Aufgabe ist einfach. Aus der zweiten Bedingung folgt \(\mathbb Q\backslash\{0\}\subseteq M_2\), das widerspricht der ersten Bedingung.

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Student, Punkte: 5.33K

 
Für 7 gäbe es dann die Möglichkeit 4+3 => (4,3) ∈ M1.
Für 11 wäre es 4+7 => (4,7) ∈ M1.
Stimmt das ?   ─   b.fani2015 08.04.2020 um 14:17
Für die 7 gibt es noch eine zweite Möglichkeit, nämlich 2+5, also ist auch \((2,5)\in M_1\). Aber sonst ja.   ─   sterecht 08.04.2020 um 14:19
Zu 2.) M2 ∩ R ⊇ Q \ {0}, meine Formulierung: Menge M2 schneidet R Menge der reelen Zahlen, die wiederum eine Teilmenge von den Rationalen Zahlen, ohne Null sind. Richtig?   ─   b.fani2015 08.04.2020 um 14:27
Zur Aufgabe 1, ja das reicht so, am Ende halt nur nochmal die ganze Menge hinschreiben: \(\{(1,2),(4,3),(4,7),(2,5)\}.\)

Zur zweiten Aufgabe: Die zweite Bedingung sagt, dass der Schnitt von \(M_2\) mit den reellen Zahlen eine Übermenge der rationalen Zahlen ohne Null sein soll, bzw. die rationalen Zahlen onne Null sind eine Teilmenge des Schnitts. Um in einem Schnitt zweier Mengen zu liegen, muss \(\mathbb Q\backslash\{0\}\) in beiden Mengen liegen, also insbesondere in \(M_2\). \(\mathbb Q\backslash\{0\}\) enthält aber unendlich viele Elemente, also muss auch \(M_2\) unendlich viele Elemente enthalten. Widerspruch zu Bedingung 1.
Da wir jetzt schon einen Widerspruch erhalten haben, müssen wir Bedingungen 3 und 4 gar nicht mehr anschauen, es kann jetzt schon keine solche Menge geben.   ─   sterecht 08.04.2020 um 14:33
Ok, jetzt machts Klick. Super, ich danke dir ganz herzlich.   ─   b.fani2015 08.04.2020 um 14:54

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