Vom Gedankengang ist das auf jeden Fall richtig.

Von der Notation ist es auch schon nicht schlecht.

Schreibe statt dem zweiten Folgepfeil lieber "Sei \(y\in ...\)" oder "Für beliebiges \(y\in...\) gilt", denn du musst erklären, was dieses y überhaupt ist. (Immer, wenn du eine neue Variable einführst, musst du sie definieren).

Du musst unbedingt direkt nach \(\exists x\in C\) ergänzen "mit \(f (x)=y\)", das ist ja wichtig.  

Schreib ganz am Ende lieber nochmal hin, dass daraus die Behauptung folgt, da \(y\) beliebig ist. Mir ist zwar klar, dass du das weißt, aber wenn man genau sein will, muss das dastehen.

Generell ist es immer besser, statt Folgepfeilen einen kurzen Halbsatz zu schreiben, was du tust oder warum das folgt.

Dein vollständiger Beweis könnte also so aussehen (Die Substitution mit C ist zwar nicht wirklich nötig, aber auch nicht falsch, deshalb lasse ich sie drin):

Ich substituiere \(C:=f^{-1}(B)\), zu zeigen ist also \(f (C)\subseteq B\).

Sei \(y\in f (C)\) beliebig. Dann gibt es ein \(x\in C\) mit \(f (x)=y\). Also ist \(x\in C=f^{-1}(B)\Longleftrightarrow y=f (x)\in B\).

Da \(y\) beliebig war, ist damit die gewünschte Inklusion gezeigt.