Hallo,

ich würde auf jeden Fall \( \sqrt{3} \) stehen lassen. Wenn dich die Wurzel irritiert, setze für die Rechnung

$$ a = \sqrt{3} $$

und rechne erstmal mit a\( a \). Die Potenz von \( \sqrt{3} \) zu berechnen ist definitiv entspannter als von einer langen Dezimalzahl :p

Du kannst diese Aufgabe mit dem binomischen Lehrsatz lösen, das ist richtig. Wenn ihr die Euler Darstellung der komplexen Zahlen schon hattet, wäre das auch eine Möglichkeit. Bei der Potenz \(  3\) ist der Aufwand vermutlich relativ gleich groß. Bei höheren Potenzen ist allerdings die Euler Darstellung nicht zu vermeiden. :)

Grüße Christian

Hallo ich würde es so machen:

du weisst, dass \((z=1+i \cdot \sqrt{3})^{3}\) dann kannst du diese Zahl in die Polarform \(z=r \cdot e^{i \cdot \phi}\) umschreiben dabei ist
\(r= \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\) \(=2\)
und \( \phi=\arctan (\frac {\sqrt{3}} {1}) = \frac {\pi} {3}\)

also ist \(z=(2 \cdot e^{i \cdot \frac {\pi}{3}})^3 = 8 \cdot e^{i \cdot \pi}\) hier musst du gar keinen binomischen Lehrsatz kennen.

nun kannst du das ganze wieder in der nomalen schreibweise umkehren. das geht so:

\(z=r \cdot \cos\phi +i \cdot r \cdot \sin \phi
    =8 \cdot \cos\pi +i \cdot 8 \cdot \sin \pi = -8\)

Also gilt

\(Realteil(z)=-8\)
\(Imaginärteil(z)=0\)
\(Betrag(z)=8\)

hoffe das hilft