Bei der 1) arbeitest du mit den Definitionen und zeigst beide Implikationen einzeln. Das ist nicht schwer, versuch es einfach mal. Wenn es irgendwo hakt, kannst du ja deine Versuche teilen und wir arbeiten zusammen weiter.

Wenn ihr schon gezeigt habt, dass die zweite Ableitung über Konvexität entscheidet, dann darfst du das natürlich für die 2) verwenden (aber nur dann, sonst musst du das erst zeigen). Für die erste Funktion solltest du zuerst allerdings noch überlegen, ob sie für \(x=0\) überhaupt zweimal differenzierbar ist

Also deinen Beweis zu (1.) verstehe ich nicht wirklich. Für die Richtung "\(\Rightarrow\)" musst du zeigen, dass für alle  \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\) aus der Menge auch die Konvexkombination \(\lambda\cdot(x_1,y_1)+(1-\lambda)\cdot(x_2,y_2)\) für alle \(\lambda\in (0,1)\) wieder in der Menge liegt. Für die Richtung "\(\Leftarrow\)" musst du zeigen, dass \(\forall x_1,x_2\in I:\forall\lambda\in (0,1):f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)\).